El cambio de orden de integración de los límites de

Question

$$\int_{1}^{3} \int_{0}^y x+y-1 \, dx \, dy = 9$$

¿Cómo puedo cambiar el orden de integración de aquí? No este requiere que las dos integrales?

$$\int_{0}^{1} \int_{1}^3 x+y-1 \, dy \, dx + \int_{1}^{3} \int_{x}^3 x+y-1 \, dy \, dx = 9$$

¿Por qué esta integral por debajo de trabajar?

$$\int_{0}^{3} \int_{x}^3 x+y-1 \, dy \, dx = 9$$

Se trata simplemente de una coincidencia? No estoy seguro de cómo parcela esta en 3D. Este es un gráfico del plano xy y los límites de la región. Esta es la forma en que visualicé la región. Tal vez hice algo mal?

Me estoy encontrando el volumen comprendido entre la superficie z = x + y, z = 1

Answer 1

$\displaystyle \int_1^3\!\!\int_0^y x+y+1 \operatorname{d}x\operatorname{d}y$, se integra en el intervalo de $y\in[1,3], x\in[0,y]$.

Como se señaló, este es equivalente a la suma de los intervalos: $x\in[0,1], y\in[1,3]$ $x\in(1,3], y\in[x, 3]$

$\displaystyle \int_1^3\!\!\int_0^y x+y-1 \operatorname{d}x\operatorname{d}y = \displaystyle \int_0^1\!\!\int_1^3 x+y-1 \operatorname{d}y\operatorname{d}x+ \displaystyle \int_1^3\!\!\int_x^3 x+y-1 \operatorname{d}y\operatorname{d}x = 9$

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Tenga en cuenta que la integral sobre la esquina inferior del triángulo (por debajo de y=1), es : $\displaystyle \int_0^1\!\!\int_x^1 x+y-1 \operatorname{d}y\operatorname{d}x = 0$, y de ahí por casualidad la integral sobre todo el triángulo es igual a la del triángulo truncado (el intervalo).

No se sostenga en general.

Answer 2

Las tres igualdades:

$$\int_{1}^{3} \int_{0}^y x+y-1 \, dx \, dy = 9$$

$$\int_{0}^{1} \int_{1}^3 x+y-1 \, dy \, dx + \int_{1}^{3} \int_{x}^3 x+y-1 \, dy \, dx = 9$$

$$\int_{0}^{3} \int_{x}^3 x+y-1 \, dy \, dx = 9$$

son correctos. Sin embargo,

$$\int_{0}^{3} \int_{x}^3 x+y-1 \, dy \, dx = \int_{1}^{3} \int_{0}^y x+y-1 \, dx \, dy = 9$$ SÓLO es correcto porque

$$\int_{0}^1 \int_x^1 x+y-1 \,dy\,dx = 0$$

Que es la integral evaluado por el pequeño triángulo en la parte inferior izquierda, justo debajo de la verde, en su imagen. Esa es la diferencia entre la segunda y la tercera de las integrales en el inicio de este post. En general,

$$\int_{0}^{3} \int_{x}^3 f(x,y) \, dy \, dx \neq \int_{1}^{3} \int_{0}^y f(x,y) \, dx \, dy$$

Por lo tanto, esta es meramente una coincidencia y que debería ser:

$$\int_{1}^{3} \int_{0}^y f(x,y) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{1}^3 f(x,y) \, dy \, dx + \int_{1}^{3} \int_{x}^3 f(x,y) \, dy \, dx$$