$PSL(2,7)$ como un subgrupo de $A_7$

Question

¿Cómo podemos demostrar que el subgrupo de $A_7$ generado por las permutaciones $x= (1234567)$ $b=(26)(34)$ orden $168$?

Answer 1

Suponiendo que desea evitar el uso de un ordenador, se puede observar que los dos permutaciones son tanto automorfismos del plano proyectivo con 7 puntos y líneas $\{1,2,6\}$, $\{1,3,4\}$, $\{1,5,7\}$, $\{2,3,7\}$, $\{2,4,5\}$, $\{3,5,6\}$, $\{4,6,7\}$. Que le daría un límite superior de 168 en la orden.

Para obtener un límite inferior, usted podría tomar nota de que, por ejemplo, $b$ catalog_number $(37)(45)$ $(25)(67)$ bajo los poderes de $a$, y, a continuación, probar y demostrar que estos dos permutaciones junto con $b$ generar un subgrupo de orden, al menos, 24 de estabilización 1.

Answer 2

Para referencia, este es el Ejercicio 15 en la Sección 2.8 de Hungerford de posgrado del Álgebra de libros de texto. Como tal, no debe ser una respuesta que sólo requiere de las herramientas desarrolladas en el libro hasta que punto. En particular, aquí es una prueba de que no se basan en el conocimiento de la proyectiva del plano.

Deje $a=(1234567)$ $b=(26)(34)$ y dejar $G = \langle a, b \rangle$. Queremos mostrar a $|G|=168$. Debido a $|G|$ divide $7! / 2$, debemos tener $$|G| = 2^{m_2} 3^{m_3}5^{m_5}7^{m_7}$$ donde $0 \le m_2 \le 3$, $0 \le m_3 \le 2$, $0 \le m_5 \le 1$, y $0 \le m_7 \le 1$.

Debido a $|a|=7$, debemos tener $7 \mid |G|$, y por lo $m_7=1$. Deje $C_1 = \langle a\rangle$ y tenga en cuenta que $C_1 \in Syl_7(G)$

Vamos a encontrar $n_7$, el número de conjugados de $C_1$$G$. Observar \begin{equation*} b a b^{-1} = (1 6 4 3 5 2 7) \notin C_1, \end{ecuación*} dando el conjugado subgrupo \begin{equation*} C_2 = \langle (1 6 4 3 5 2 7) \rangle = \langle (1 2 3 6 7 5 4) \rangle \ne C_1. \end{ecuación*} El grupo $G$ actúa transitivamente sobre $Syl_7(G)$ por conjugación, y esto induce a un homomorphism $\varphi \colon G \to S_{n_7}$. Nota:$a C_2 a^{-1} \ne C_2$, y así $\varphi(a)$ no es trivial. Por lo tanto $|\varphi(a)|$ debe $7$. Debido a que este es el primer, $\varphi(a)$ debe ser un producto de la desunión de 7 ciclos, uno de los cuales se mueve $C_2$. Por lo tanto la iteración $C_{i+1} = a C_i a^{-1}$ le dará seis más de Sylow de 7 subgrupos $C_3, \dotsc, C_8$; por supuesto, $a C_8 a^{-1} = C_2$ nuevo. Os dejo estos cálculos. (Sólo es necesario calcular los generadores. No hay necesidad de hacer una lista de todos los elementos de cada subgrupo, ya que todos los elementos es una potencia del generador.) Porque $|b|=2$, $\varphi(b)$ es un producto de la desunión 2-cylces. Calculamos $b C_3 b^{-1} = C_8$, $b C_4 b^{-1} = C_5$, y $b C_6 b^{-1} = C_7$; por definición, también tuvimos $b C_1 b^{-1} = C_2$. Debido a $a$ $b$ generar $G$, esto demuestra que la órbita de $C_1$$\{ C_1, \dotsc, C_8\}$. Pero la acción de $G$ $Syl_7 (G)$ es transitiva, y por lo $Syl_7(G) = \{C_1, \dotsc, C_8\}$. Por lo tanto,$n_7=8$. Pero $n_7 \mid |G|$ por el Tercer Teorema de Sylow, y así $m_2 = 3$.

El próximo observar que el Sylow 3-subgrupos de $A_7$ son todos de la forma $\langle \sigma_1, \sigma_2 \rangle$ donde $\sigma_1, \sigma_2$ son distintos 3-ciclos. Ahora, \begin{equation*} a b = (1 2 7)(3 5 6) \in \langle (127), (356) \rangle\in Syl_3 (A_7). \end{ecuación*} Robaba $|ab|=3$, debemos tener $m_3 \ge 1$. Supongamos por contradicción que $m_3 = 2$. A continuación, $ab$ tendría que ser en algunas de Sylow 3-subgrupo de $G$, pero el único grupo de la orden de 9 en $A_7$ contiene $ab$ es $ \langle {(127), (356)} \rangle$. Por lo tanto $(127) \in G$. Si se conjuga $a$$(127)$, el resultado $(1273456)$ debe residir en $G$. Debido a que no es uno de los elementos de $C_1, \dotsc, C_8$ calculado anteriormente, tenemos una contradicción. Así $m_3 =1$.

Por último, supongamos por contradicción que $m_5=1$. A partir de nuestros resultados podemos concluir $[A_7 : G]=6$. Pero $A_7$ es simple, de modo que $A_7$ debe ser isomorfo a un subgrupo de $S_6$ (considerando la acción de la $A_7$ a la izquierda cosets de $G$). Pero esto es imposible porque $S_6$ no tiene elementos de orden 7. Por lo tanto $m_5 \ne 1$, y por lo $m_5 = 0$.

Por lo tanto,$|G| = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 168$.