Cómo calcular el intervalo de confianza para una media geométrica?

Question

Disculpas si esto es confuso a todos, estoy muy familiarizado con medios geométrica. Para el contexto, mi conjunto de datos es de 35 de fin de mes de la cartera de valores. He encontrado el mes a mes la tasa de crecimiento de [Mes(N)/Mes(N-1)] - 1, de tal manera que ahora tengo 34 observaciones y como en la estimación de fin de mes el valor de uso de la conocida mes anterior final del valor. Por ejemplo, si yo sé lo que el valor final de la cartera fue el mes pasado, yo tendría que multiplicado por una tasa de crecimiento para obtener una estimación de este final del mes el valor de +/- el margen de error.

Inicialmente se utilizó la media aritmética de las tasas de crecimiento, se encontró que la desviación estándar de la muestra y calcula un intervalo de confianza para obtener mi menor / límite superior de las tasas de crecimiento.

Ahora estoy empezando a dudar de la exactitud de este método y han tratado de usar la media geométrica en su lugar. Por lo que actualmente tengo mi set de 34 tasas de crecimiento excepto que yo no restar 1, de modo que todos los valores son positivos, se calcula la media geométrica, y para calcular la desviación estándar se utiliza esta wikipedia fórmula:
$$ \sigma_g = \exp\!\!\a la izquierda(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\ln\!\big(\frac{x_i}{\mu_g}\big)^2}{n}} \right) $$ Ahora estoy en una pérdida en cuanto a cómo calcular un 95% CI cuando he mirado a través de preguntas similares en este sitio, así como en general, buscando por internet y estoy viendo las diferentes opiniones sobre los métodos y fórmulas (admito que estoy un poco perdido en la matemática).

Actualmente estoy usando las fórmulas para la distribución normal para calcular un intervalo de confianza basado en la desviación estándar geométrica menos 1 (para conseguir la vuelta a un porcentaje), tal que:

• Error Estándar = [(Geométrica Stdev-1)/Sqrt(N)],
• Margen de Error = [Error Estándar * 1.96], y
• CI = [Media Geométrica +/- Margen de Error]

Esta es una aproximación razonable o debo utilizar un método diferente para calcular el CI?

Answer 1

Usted puede calcular la media aritmética de los registro de la tasa de crecimiento:

• Deje $V_t$ ser el valor de su cartera en el tiempo $t$
• Deje $R_t = \frac{V_t}{V_{t-1}}$ ser la tasa de crecimiento de su cartera de $t-1$ $t$

La idea básica es tomar los registros y hacer sus cosas estándar. Tomar registros transforma la multiplicación en una suma.

• Deje $r_t = \log R_t$ ser el registro de la tasa de crecimiento.

$$\bar{r} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T r_t \quad \quad s_r = \sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T \left( r_t - \bar{r}\right)^2}$$

Entonces su error estándar $\mathit{SE}_{\bar{r}}$ de su media de la muestra $\bar{r}$ está dada por:

$$ \mathit{SE}_{\bar{r}} = \frac{s_r}{\sqrt{T}}$$

El 95% intervalo de confianza para $\mu_r = {\operatorname{E}[r_t]}$ would be approximately: $$\left( \bar{r} - 2 \mathit{SE}_{\bar{r}} , \bar{r} + 2 \mathit{SE}_{\bar{r}} \right)$$.

Exponentiate para obtener el intervalo de confianza para $e^{\mu_r}$

Desde $e^x$ es estrictamente una función creciente, un 95% de intervalo de confianza para $e^{\mu_r}$ sería:

$$\left( e^{\bar{r} - 2 \mathit{SE}_{\bar{r}}} , e^{\bar{r} + 2 \mathit{SE}_{\bar{r}}} \right)$$

Y hemos terminado. ¿Por qué hemos hecho?

Observe $\bar{r} = \frac{1}{T} \sum_t r_t$ es el logaritmo de la media geométrica

Por lo tanto $e^{\bar{r}}$ es la media geométrica de la muestra. Para mostrar esto, observar la media geométrica está dada por:

$$ \mathit{GM} = \left(R_1R_2\ldots R_T\right)^\frac{1}{T}$$

Por lo tanto, si tomamos el logaritmo de ambos lados:

\begin{align*} \log \mathit{GM} &= \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \log R_t \\ &= \bar{r} \end{align*}

Algunos ejemplo para construir la intuición:

• Digamos que calcular la media de registro de la tasa de crecimiento es $.02$. A continuación, la media geométrica es $\exp(.02) \approx 1.0202$.
• Digamos que calcular la media de registro de la tasa de crecimiento es $-.05$, la media geométrica es $\exp(-.05) = .9512$

Para$x \approx 1$,$\log(x) \approx x - 1$$y \approx 0$,$\exp(y) \approx y + 1$. Más lejos aunque, los trucos breka abajo:

• Digamos que calcular la media de registro de la tasa de crecimiento es $.69$, la media geométrica media es $\exp(.69) \approx 2$ (es decir, el valor se duplica cada período).

Si todos los registro de las tasas de crecimiento $r_t$ están cerca de cero (o, equivalentemente, $\frac{V_t}{V_{t-1}}$ es cercano a 1, a continuación, usted encontrará que la media geométrica y la media aritmética estará muy cerca

Otra respuesta que pueden ser útiles:

Como esta respuesta se analiza, registro de las diferencias son básicamente por ciento de los cambios.

Comentario: es útil en finanzas para que se sienta cómodo pensando en los registros. Es similar a pensar en términos de porcentaje de cambios, pero matemáticamente limpiador.

Answer 2

Vamos a extraer el problema estadístico en la mano. Ha $X_1, \dots X_n$ a partir de algunos de distribución con una media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2$.

Considere la posibilidad de $Y_i = \log X_i$, donde el promedio de $Y$ $\mu_y$ y la varianza es $\sigma^2_y$. Considerar el promedio de $Y$s: $\bar{Y}_n = \sum_{i=1}^{n} Y_i/n$. Entonces, debido a la CLT, $$ \sqrt{n} (\bar{Y}_n - \mu_y) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2_y)\,.$$

Ahora considere el $e^{\bar{Y}_n}$. \begin{align*} e^{\bar{Y}_n} & = \exp\left\{\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n} \log Y_i \right\}\\ & = \exp\left\{\sum_{i=1}^{n} \log Y_i^{1/n} \right\}\\ & = \prod_{i=1}^{n}\exp\left\{ \log Y_i^{1/n}\right\}\\ & = \prod_{i=1}^{n} Y_i^{1/n}\,. \end{align*}

Por lo tanto, $ e^{\bar{Y}}$ es la media geométrica! Así que la próxima, podemos aplicar el método Delta a la CLT método. Definir $g(x) = e^{x}$,$g'(x) = e^x$. Por el método Delta

$$\sqrt{n}(e^{\bar{Y}_n} - e^{\mu_y}) \overset{d}{\to} N(0, e^{2\mu_y}\sigma^2_y).$$

Así que ahora usted tiene una herramienta para hacer sus intervalos de confianza. $e^{\mu_y}$ es tu verdadero de la media geométrica, y quieres hacer un intervalo de confianza para esta (esto no es un intervalo de confianza para el valor esperado $\mu$). El primer paso es estimar el $\sigma^2_y$. Desde $\sigma^2_y$ es la varianza de la $Y$s,

$$ s^2_y:= \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y}_n)^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\log X_i - \log e^{\bar{Y}_n})^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log \left( \dfrac{X_i}{e^{\bar{Y}_n}} \right)\,.$$

Para hacer su $100(1 - \alpha)$% intervalo de confianza para la verdadera media geométrica:

$$e^{\bar{Y}_n} \pm z_{1-\alpha/2}\dfrac{e^{\bar{Y}_n} s_y}{\sqrt{n}}\,.$$