Vamos $n\geq2$, $0<R<\infty$ y $\Omega=B(0,R)\subset\mathbb{R}^n$. Estoy buscando una función de $u\in C^1(\Omega\setminus\{0\})$ tal que $u\in L^2(\Omega)$, $\nabla u\in L^2(\Omega)$ (donde $\nabla u$ es la clásica de derivados que existe, excepto en $0$) sino $u\notin H^1(\Omega)$. Para $n=1$, la función de $u(x)=sgn(x)$ es un ejemplo. Cómo construir una función en la dimensión superior?
Respuesta
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Adam Zalcman
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No hay tal función.
Deje $\Omega$ ser un dominio en $\mathbb R^n$, $n\ge 2$. Si $u$ es localmente Lipschitz en $C^1(\Omega\setminus\{0\})$$u,\nabla u\in L^2(\Omega)$,$u\in H^1(\Omega)$.
En efecto, siendo localmente Lipschitz implica que $\nabla u$ existe una.e. (Rademacher del Teorema), y lo que es más importante, implica que el $u$ es absolutamente continua en el cerrado cada segmento de línea contenida en $\Omega\setminus\{0\}$. Puesto que para cada dirección, casi una de cada segmento de línea en $\Omega$ no pasa a través de $\{0\}$, la función de $u$ tiene la propiedad ACL. Si una función es ACL con integrable en derivadas parciales, entonces su pointwise gradiente es su débil gradiente. Por lo tanto $u\in H^1(\Omega)$.
La razón por la que tenemos un ejemplo en una dimensión es que un solo punto, hay un codimension $1$ subespacio, que desconecta el espacio. El análogo en dimensiones superiores sería una función que es suave en el complemento de codimension $1$ hyperplane. Como $u(x,y)=\mathrm{sgn}\,x$.
