Intermedios campos de la división de campo de $X^4-10X^2+4$ $\mathbb{Q}$

Question

Me gustaría calcular el intermedio de campos entre $\mathbb{Q}$ y una división de campo para $f=X^4-10X^2+4$.

Aquí está lo que he hecho:

Las raíces de $f$$\pm \sqrt{5\pm \sqrt{21}}$. La multiplicación de ellos vemos que una división de campo para $f$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{5+\sqrt{21}})$ que tiene un grado más de 4 $\mathbb{Q}$.

Por lo tanto el fin de que el grupo de Galois es de 4. Sus elementos están determinados por la acción en $\sqrt{5+\sqrt{21}}$, la cual puede ser enviada a cualquiera de las cuatro raíces de $f$. Es fácil comprobar que los tres no-identidad de los elementos tiene el fin de $2$, de ahí que el grupo de Galois es isomorfo a $C_2\times C_2$.

Por la correspondencia de Galois, hay tres intermedios campos. Uno de ellos es, obviamente,$\mathbb{Q}(\sqrt{21})$, pero ¿cómo puedo conseguir los demás? Traté de determinar manualmente los campos fijos para los tres subgrupos, pero los cálculos se pusieron muy desagradable para mí.

Answer 1

1. $\Bbb Q\left(\sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}}\right)$
2. $\Bbb Q\left(\sqrt{5+\sqrt{21}} - \sqrt{5-\sqrt{21}}\right)$

Para un involutiva automorphism $\phi$, para todos los elementos de la $s$, $s+\phi(s)$ $s\cdot \phi(s)$ siempre son fijos, por lo que tienen una oportunidad para generar el subcampo..

Actualización:curiosamente, $$ \begin{align} \left(\sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}}\right)^2 &= 14 \\ \left(\sqrt{5+\sqrt{21}} - \sqrt{5-\sqrt{21}}\right)^2 &= 6. \end{align} $$ Hmm.. En otras palabras, los siguientes 3 intermedios campos tenemos: $$\Bbb Q(\sqrt 6),\ \Bbb Q(\sqrt{14}),\ \Bbb Q(\sqrt{21})$$