$e$ como el límite de una secuencia

Question

Una de las definiciones estándar de $e$ es como

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

Pero en todos los casos que he visto de este límite, está demostrado como un límite de la secuencia de $\Big\{\big(1 + \frac{1}{n}\big)^n\Big\}$, que parece cubrir el límite de sólo $n$ como un entero. Ahora mi pregunta es si esta secuencia límite es equivalente a la de un límite normal para que $n$ puede ser cualquier número real. No puedo pensar en casos en los que esto no es cierto en general;

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sin(n\pi)$$

viene fácilmente a la mente, para que el límite de una secuencia es simplemente $0$, pero como un límite general, es indefinido. El límite de $e$ se utiliza exactamente como si se tratara de un límite normal, lo que me lleva a creer que es equivalente. Hay condiciones para que el límite de una secuencia y la correspondiente función son idénticos?

Answer 1

Si $x>0$ ser un número real, a continuación, escriba $x=n+y_x$ donde $0 \leq y_x \leq 1$.

Es fácil entonces para mostrar que

$$ \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^n \leq \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \,.$$

El uso de este, se puede demostrar que si

$$e=\lim_n \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ entonces $$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x =e$$

Editar

Para completar la respuesta, en general si $f(x)$ es monótona, entonces seguro

$$\lim_n f(n)= \lim_x f(x) \,.$$

No recuerdo si $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ es monótona (y yo soy demasiado perezoso para diferenciarlos), pero lo que hemos mostrado anteriormente es que es al menos "cerca de ser monótona". Lo que quiero decir con esto, que me mostró que $$f(n) h(n) \leq f(x) \leq f(n+1)g(n+1) \forall x\in [n, n+1)$$ where $h(n)$ and $g(n)$ go to $1$. El que, básicamente, sqeeze.