He leído en alguna parte que, dado un grupo finito $G$, su estructura está totalmente determinado
a partir del conocimiento de los valores de $|\{H\to G\}|$ (el número de homomorphisms de$H$$G$) $H$ varía a lo largo de todos los grupos finitos.
Este tiene un buen corolario: si $G\times G\cong G'\times G'$$G\cong G'$.
¿Cómo hace uno para probar la primera afirmación? Si la prueba no es difícil, prefiero una respuesta en forma de una (serie de) sugerencia(s).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tal vez las siguientes obras, por favor, decirme si esto es correcto.
Deje $\beta(H)$ el número de homomorphisms $H\to G$ (lo que sabemos).
Nos muestran que el número de $\alpha(H)$ de los inyectiva homomorphisms $H\to G$ está determinada únicamente por $\beta(\cdot)$, por la fuerte inducción en $n=|H|$:
si $n=1$ entonces trivialmente $\alpha(\{e\})=1$. Ahora asume la tesis de $m<n$.
Se observa que, para cualquier fija $H$ $|H|=n$ y cualquier $K\trianglelefteq H$, es evidente que existe una correspondencia entre el$\{\phi:H\to G\text{ s.t. Ker}(\phi)=K\}$$\{\psi:H/K\to G\text{ injective}\}$. Así
$\beta(H)=\alpha(H)+\sum_{\{e\}\neq K\trianglelefteq H}\alpha(H/K)$
y todos los términos de la suma son ya determinado como $|H/K|<n$, por lo tanto $\alpha(H)$ está determinado también.
Ahora $|G|=\max\{|H|:\alpha(H)>0\}$, lo $|G|$ está determinada únicamente. Por último, si $G,G'$ tienen la misma función $\beta(\cdot)$, tienen el mismo $\alpha(\cdot)$, por lo que desde $\alpha(G)>0$ existe una inyectiva homomorphism $G\to G'$. Este es un isomorfismo como $|G|=|G'|$.
