¿Qué transformaciones lineales preservan estas condiciones?

Question

Pregunta principal

Definamos $\Gamma(n)$ como el conjunto de matrices antisimétricas reales de tamaño $n$ ( $n$ es un número entero par), cumpliendo: $$ \forall \gamma\in \Gamma(n) \Rightarrow \gamma^2=-\mathbb I_n$$ donde $\mathbb I_n$ es la matriz de identidad de tamaño $n$ . ¿Cuál es una buena representación del conjunto de todos los operadores lineales que mantienen las matrices dentro de $\Gamma(n)$ ? $$\gamma_{i,j}\to \gamma'_{i,j} = \sum_{i',j'=1}^n \gamma_{i',j'}\beta_{i,i'}\beta_{j,j'}$$ donde $\beta \in \mathbb C^{n^2}$ .

Por ejemplo, sé que si $\gamma\to \gamma'=U\gamma U^\dagger$ , donde $U$ es una matriz unitaria entonces claramente $$\gamma'^2=U\gamma U^\dagger U\gamma U^\dagger=U\gamma^2 U^\dagger=-U\mathbb I_n U^\dagger=-\mathbb I_n$$ pero no sé qué matrices unitarias preservan la antisimetría de una matriz.

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Antecedentes

El trasfondo está muy relacionado con la física, así que pensé que debía separarlo de la pregunta principal. El $\gamma$ Las matrices con las que estoy tratando se llaman Matrices de Covarianza(CMs); y en el caso de este problema se definen como $$\gamma_{l,m}=\frac{i}{2}\text{tr}(\rho[c_l,c_m])$$ donde $\rho$ es la matriz de densidad de un estado gaussiano puro, $c$ son operadores de modo de Majorana que cumplen $\{c_l,c_m\}=2\delta_{l,m}$ y $[\_,\_]$ ( $\{\_,\_\}$ ) es un (anti)conmutador.

Además, la condición $\gamma^2=-\mathbb I_n$ se satisface si el estado $\rho$ es puro [1] .

Answer 1

Observe que $\Gamma(n)$ es el conjunto de todos los reales $n \times n$ matrices ortogonales de simetría sesgada, es decir $$ \Gamma(n) = O(n) \cap \mathfrak{o}(n) \cap M_n(\mathbb{R}), $$ y que $$ \mathcal{U}(n) := \{U \in U(n) \mid U\Gamma(n)U^T \subset \Gamma(n)\}. $$ Afirmo que $$ \mathcal{U}(n) = \begin{cases} \{ \eta U_0 \mid \eta \in \{\pm 1, \pm i\}, \; U_0 \in SU(2)\} &\text{if $ n=2 $,}\\ O(n) \cup iO(n) &\text{if $ n \geq 4 $.} \end{cases} $$

Consideremos primero el caso en el que $n \geq 4$ .

En primer lugar, observe que si $O \in O(n)$ entonces para cualquier $\gamma \in \Gamma(n)$ , $O \gamma O^T$ y $(iO)\gamma(iO)^T = -O \gamma O^T$ siguen siendo reales, sesgadas y ortogonales, por lo que $\mathcal{U}(n) \supset O(n) \cup iO(n)$ . Por lo tanto, basta con demostrar la inclusión inversa, $\mathcal{U}(n) \subset O(n)\cup iO(n)$ . Para ello, sin embargo, necesitaremos los siguientes lemas.

Lema 0: Dejemos que $v$ , $w \in \mathbb{R}^n$ sean vectores unitarios ortogonales. Entonces existe algún $\gamma_{wv} \in \Gamma(n)$ tal que $w = \gamma_{wv} v$ (y por lo tanto $v = -\gamma_{wv} w$ ).

Prueba: Dejemos que $e_1 = v$ y $e_2 = w$ y completa $\{e_1,e_2\}$ a una base ortonormal $\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$ de $\mathbb{R}^n$ . Entonces $\gamma_{vw} \in \Gamma(n)$ definido por $$ \gamma_{wv} e_{2k+1} = e_{2k+2}, \quad \gamma_{vw} e_{2k+2} = -e_{2k+1}, \quad 0 \leq k \leq \frac{n-2}{2} $$ es una matriz real ortogonal sesgada tal que $w = \gamma_{wv} v$ según sea necesario. QED

Lema 1: $\{A \in M_n(\mathbb{R}) \mid A = A^T, \; \forall \gamma \in \Gamma(n), \; A \gamma = \gamma A\} = \mathbb{R}I_n$ .

Prueba: Dejemos que $A$ sea una matriz de este tipo. Sea $\{e_1,\dotsc,e_n\}$ sea la base ordenada estándar de $\mathbb{R}^n$ .

Demostremos primero que las entradas diagonales de $A$ son todos iguales. En primer lugar, observe que para cualquier $v \in \mathbb{R}^n$ , $$ \langle \gamma v, A \gamma v \rangle = \langle \gamma v, \gamma A v \rangle = \langle \gamma^T \gamma v, A v \rangle = \langle v, A v \rangle. $$ Pero ahora, por el lema 0, para cualquier $k \neq l$ existe $\gamma \in \Gamma(n)$ sea tal que $e_l = \gamma e_k$ para que $$ A_{ll} = \langle e_l, A e_l \rangle = \langle \gamma e_k, A \gamma e_k \rangle = \langle e_k, A e_k \rangle = A_{kk}. $$ Por lo tanto, efectivamente, todas las entradas diagonales de $A$ son iguales.

Ahora, demostremos que $A$ es diagonal. En primer lugar, observe que $$ (A\gamma)^T = \gamma^T A^T = -\gamma A = -(A \gamma), $$ para que $A\gamma$ es simétrica, y por lo tanto $\langle v, A \gamma v \rangle = 0$ para todos $v \in \mathbb{R}^n$ . Pero ahora, por el lema 0, para cualquier $k \neq l$ existe $\gamma \in \Gamma(n)$ sea tal que $e_l = \gamma e_k$ para que $$ A_{kl} = \langle e_k, A e_l \rangle = \langle e_k, A \gamma e_k \rangle = 0. $$ Por lo tanto, $A$ es efectivamente diagonal.

Por último, dado que $A$ es diagonal con todas las entradas diagonales iguales, se deduce que $A = \alpha I_n$ para algunos $\alpha \in \mathbb{R}$ . QED

Lema 2: Supongamos que $n \geq 4$ . Entonces $\{B \in M_n(\mathbb{R}) \mid B = B^T, \; \forall \gamma \in \Gamma(n), \; B \gamma = -\gamma B\} = 0$ .

Prueba: Dejemos que $B$ sea una matriz de este tipo. En primer lugar, observemos que para cualquier $x \in \mathbb{R}^n$ , $$ \langle \gamma x, B \gamma x \rangle = -\langle \gamma x, \gamma B x \rangle = -\langle \gamma^\ast \gamma x , B x \rangle = - \langle x, A x \rangle. $$ Dejemos que $u \in \mathbb{R}^n$ sea un vector unitario. Como $n \geq 4 \geq 3$ , encontrar $v$ y $w \in \mathbb{R}^n$ tal que $\{u,v,w\}$ es ortonormal; por tanto, por el lema 0, hallemos $\gamma_{vu}$ , $\gamma_{wv}$ y $\gamma_{uw}$ tal que $$ v = \gamma_{vu}u, \quad w = \gamma_{wv} v, \quad u = \gamma_{uw} w. $$ Pero ahora, $$ \langle u, B u \rangle = \langle \gamma_{uw} w, B \gamma_{uw} w \rangle = - \langle w, B w \rangle = - \langle \gamma_{wv} v, B \gamma_{wv} v \rangle = \langle v, B v\rangle = \langle \gamma_{vu} u, B \gamma_{vu} u \rangle = - \langle u, B u \rangle, $$ para que $\langle u, B u \rangle = 0$ . Desde $u$ era un vector unitario arbitrario, se deduce que $\langle x, B x \rangle = 0$ para todos $x \in \mathbb{R}^n$ y, por tanto, que $B$ es simétrica. Como $B$ se asumió que era simétrica, esto implica por tanto que $B = 0$ . QED

Por último, supongamos que $U \in \mathcal{U}(n)$ . Entonces, para cualquier $\gamma \in \Gamma(n)$ , $U \gamma U^T$ es real, por lo que $$ U \gamma U^T = \overline{U \gamma U^T} = \overline{U} \gamma U^\ast, $$ y por lo tanto $$ U^T U \gamma = \gamma \overline{U^T U}. $$ Ahora, escribe $U^T U = A + iB$ , donde $A$ , $B \in M_n(\mathbb{R})$ ya que $U^T U$ es simétrica, también lo son $A$ y $B$ . Pero entonces, $$ 0 = U^T U \gamma - \gamma \overline{U^T U} = (A+iB)\gamma - \gamma(A-iB) = (A\gamma - \gamma A) + i (B\gamma + \gamma B), $$ para que desde $A$ , $B$ y $\gamma$ son todos reales, $$ A\gamma = \gamma A, \quad B \gamma = - \gamma B. $$ Por el lema 1, entonces, $A = \alpha I_n$ para algunos $\alpha \in \mathbb{R}$ mientras que por el lema 2, $B = 0$ . Por lo tanto, $U^T U = A = \alpha I_n$ ya que $U^T U$ es unitaria, por lo que se deduce que $\alpha = \pm 1$ . Pero entonces, como $U^T U = \pm I_n = \pm U^\ast U$ se deduce que $U^T = \pm U^\ast$ y, por tanto, que $\overline{U} = \pm U$ . Así, $U \in O(n)$ o $U \in iO(n)$ como se ha afirmado.

Ahora, consideremos el caso restante de $n = 2$ que podemos llevar a cabo explícitamente. Por un lado, se puede comprobar directamente que $$ \Gamma(2) = \{ \pm \gamma \}, \quad \gamma = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, $$ para que $$ \mathcal{U}(2) = \{ U \in U(2) \mid U \gamma U^T = \pm \gamma \}. $$ Por lo tanto, dejemos que $U \in U(2)$ y escribir $U = \eta U_0$ para $\eta = \det(U) \in U(1)$ y $U_0 = \eta^{-1}U \in SU(2)$ . Por lo tanto, podemos escribir $$ U = \eta \begin{pmatrix} \alpha & -\overline{\beta} \\ \beta & \overline{\alpha} \end{pmatrix} $$ para $\alpha$ , $\beta \in \mathbb{C}$ con $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ . Pero entonces, $$ U \gamma U^T = \eta \begin{pmatrix} \alpha & -\overline{\beta} \\ \beta & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} eta \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} = \eta^2 \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \eta^2 \gamma. $$ Por lo tanto, $U \in \mathcal{U}(2)$ sólo si $\eta^2 = \pm 1$ si y sólo si $\eta \in \{\pm 1, \pm i\}$ para que $$ \mathcal{U}(2) = \{ \eta U_0 \mid \eta \in \{\pm 1, \pm i\}, \; U_0 \in SU(2)\}. $$

Answer 2

Tras una serie de intercambios en la sección de comentarios, el OP ha aclarado que la verdadera pregunta es la siguiente:

Dejemos que $n$ sea un número par y $\Gamma(n)\subset M_n(\mathbb R)$ sea el conjunto de todos los $n\times n$ raíces cuadradas antisimétricas reales de $-I_n$ . Encontrar todas las matrices unitarias (complejas) $\beta$ de manera que el mapeo $\gamma\mapsto\beta\gamma\beta^\top$ (Nota: no $\gamma\mapsto\beta\gamma\beta^\dagger$ aunque $\beta$ puede ser complejo) conserva $\Gamma(n)$ .

Demostraremos lo siguiente.

• Cuando $n\ge4$ las matrices necesarias vienen dadas por las siguientes $\beta$ s tal que $\beta$ o $i\beta$ es una matriz ortogonal real.
• Cuando $n=2$ las matrices necesarias vienen dadas por las siguientes $\beta$ s tal que $\beta$ o $i\beta$ es de la forma $$ \pmatrix{z\,\cos t&-\bar{w}\,\sin t\\ w\,\sin t&\bar{z}\,\cos t}, $$ donde $t$ es un número real arbitrario y $z,w$ son números complejos arbitrarios de módulos unitarios.

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Prueba para $n\ge4$ . Dejemos que $\mathcal K$ denota el espacio lineal real de todas las matrices antisimétricas reales. Definir $h=\beta^\top\beta$ . Entonces $h$ es unitaria y la condición $(\beta\gamma\beta^\top )^2 = -I$ implica que $h\gamma = \gamma h^{-1} = \gamma \bar{h}^\top$ . Desde $\mathcal K$ es el tramo lineal real de $\Gamma(n)$ se deduce que $$ hk = k\bar{h}^\top\tag{1} $$ por cada $k$ en $\mathcal K$ . Denote por $E_{ij}$ la matriz con un $1$ en el $(i,j)$ -ésima posición y ceros en el resto. Al considerar todos los $k$ s de la forma $E_{ij}-E_{ji}$ y comparar ambos lados de $(1)$ elemental, es fácil ver que $h$ es un múltiplo real de la matriz identidad (que $n>2$ es esencial aquí). Sin embargo, $h$ es unitaria. Por lo tanto, $h=\beta^\top \beta=\pm I$ .

Si $\beta^\top \beta=I$ ya que $\beta$ también es unitario, tenemos $\beta^\top \beta=I=\beta^\dagger \beta$ . Por lo tanto, $\beta^\top=\beta^\dagger$ es decir $\beta$ es real. Por lo tanto, $\beta$ es ortogonal real.

Si $\beta^\top \beta=-I$ entonces $(i\beta)^\top(i\beta)=I$ y $i\beta$ también es unitaria. Por lo tanto, el mismo argumento muestra que $i\beta$ es ortogonal real.

Prueba para $n=2$ . El conjunto $\Gamma(2)$ tiene sólo dos elementos, a saber, $g=\pmatrix{0&-1\\ 1&0}$ y $-g$ . Si el mapeo $f:\gamma\mapsto\beta\gamma\beta^\top$ conserva $\Gamma(n)$ , ya sea $\beta g\beta^\top=g$ (y $f$ es el mapa de identidad) o $\beta g\beta^\top=-g$ (y $-f$ es el mapa de identidad). En este último caso, tenemos $(i\beta) g(i\beta)^\top=g$ por lo que basta con considerar sólo el primer caso. Dado que $\beta$ es unitaria, la condición $\beta g\beta^\top=g$ equivale a $\beta g=g\bar{\beta}$ . Comparando elementalmente ambos lados de esta igualdad y también ambos lados de $\beta\beta^\dagger = I$ El resultado es el siguiente.