Haar medida en O(n) o U(n)

Question

Cada localmente compacto grupo de izquierda invariantes haar medidas. En particular, los grupos compactos O(n) y U(n) tienen ellos.

Me preguntaba si hay una realización de tal medida en que estos grupos, o su operador integral. Por supuesto, el derecho invariantes son tan buenos.

Answer 1

Hace poco me dio un explícito de la parametrización de $SO(n)$, y la correspondiente fórmula explícita para la medida de Haar como una respuesta a esta pregunta. Aquí voy a hacer la misma cosa para $U(n)$. Te recomiendo la lectura de mi otra respuesta en $SO(n)$ antes de leer este.

Deje $S^{2n-1}$ denotar la unidad de la esfera en $\mathbb{C}^n$, y tenga en cuenta que $U(n)$ actúa transitivamente sobre $S^{2n-1}$. Voy a utilizar esta acción de dar una explícita inductivos descripción de una parametrización de $U(n)$. La idea es realizar primero una arbitraria unitario de la transformación de la primera $n-1$ complejo de coordenadas y, a continuación, realizar una transformación unitaria que los mapas de $\textbf{e}_n$ a cualquier posible ubicación en $S^{2n-1}$.

Para mayor comodidad, vamos a utilizar la siguiente notación. Si $\textbf{v}\in\mathbb{C}^n$ es un vector, vamos a $\textbf{v}^a\in\mathbb{C}^{n+1}$ ser el vector obtenido mediante el aumento de la $\textbf{v}$ con un cero, es decir, $$ (v_1,\ldots,v_n)^a \;=\; (v_1,\ldots,v_n,0). $$ Del mismo modo, si $M$ $n\times n$ matriz compleja, vamos a $M^a$ $(n+1)\times(n+1)$ complejidad de la matriz con el siguiente bloque diagonal de la forma: $$ M^un \;=\; \begin{bmatrix}M & \textbf{0} \\ \textbf{0}^T & 1\end{bmatrix}. $$ También usaremos la notación $\textbf{e}_1,\ldots,\textbf{e}_n$ para el estándar de la base de vectores en la $\mathbb{C}^n$.

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Complejo Hyperspherical Coordenadas

Estos son un sistema de coordenadas para especificar un punto de $\boldsymbol{\Sigma}_n(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$ $S^{2n-1}$ $2n+1$ ángulos $\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1}$. Los primeros complejo hyperspherical sistemas de coordenadas están dadas por \begin{align*} \boldsymbol{\Sigma}_1(\phi_1) &\;=\; e^{i\phi_1}, \\[3pt] \boldsymbol{\Sigma}_2(\phi_1,\phi_2,\theta_1) &\;=\; (e^{i\phi_1}\sin\theta_1,\,e^{i\phi_2}\cos\theta_1), \\[3pt] \text{and }\boldsymbol{\Sigma}_3(\phi_1,\phi_2,\phi_3,\theta_1,\theta_2) &\;=\; (e^{i\phi_1}\sin\theta_1\sin\theta_2,\,e^{i\phi_2}\cos\theta_1\sin\theta_2,\,e^{i\phi_3}\cos\theta_2), \end{align*} y en general el $k$th complejo de coordenadas Cartesianas $\Sigma_{n,k}$ $\boldsymbol{\Sigma}_n$ está dado por la fórmula $$ \Sigma_{n,k}(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1}) \;=\; \begin{cases}e^{i\phi_1}\sin \theta_1 \cdots \sin \theta_{n-1} & \text{if } k=1, \\[3pt] e^{i\phi_k}\cos \theta_{k-1} \sin \theta_k \cdots \sin \theta_{n-1} & \text{if }2\leq k \leq n.\end{casos} $$ La función de $\boldsymbol{\Sigma}_n$ también puede ser definido inductivamente por la fórmula $$ \boldsymbol{\Sigma}_n(\phi_1,\ldots,\theta_{n-1}) \;=\; (\el pecado \theta_{n-1})\,\bigl(\boldsymbol{\Sigma}_{n-1}(\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta_1,\ldots,\theta_{n-2})\bigr)^un \,+\, (e^{i\phi_n}\cos \theta_{n-1})\,\textbf{e}_n. $$ con el caso base $\boldsymbol{\Sigma}_1$.

Dominio y Forma de Volumen

Si dejamos $D_n$ ser el subconjunto del espacio de parámetros definidos por $$ 0\leq\phi_k\leq 2\pi, \qquad\text{y}\qquad 0\leq \theta_k\leq \pi/2 $$ para todos los $k$, $\boldsymbol{\Sigma}_n$ mapas de $D_n$ a $S^{2n-1}$, y es uno-a-uno en el interior de $D_n$. El $(2n-1)$-dimensional forma de volumen con respecto a $\boldsymbol{\Sigma}_n$ es $$ dV \;=\; \left(\prod_{k=1}^{n-1} \cos \theta_k \sin^{2k-1} \theta_k\right)\,d\phi_1\cdots d\phi_n\,d\theta_1 \cdots d\theta_{n-1}. $$

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Una Base Ortonormales

Antes de escribir la parametrización de $U(n)$, necesitamos extender $\{\boldsymbol{\Sigma}_n(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})\}$ a un ortonormales base de $\mathbb{C}^n$. La base es $$ \bigl\{\textbf{U}_{n,1},\ldots,\textbf{U}_{n,n-1},\boldsymbol{\Sigma}_n\bigr\} $$ donde $$ \textbf{U}_{n,k}(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1}) \;=\; \frac{1}{(\sin \theta_{k+1}) \cdots (\sin \theta_{n-1})}\frac{\partial \boldsymbol{\Sigma}(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})}{\parcial \theta_k}. $$ Es decir, $\textbf{U}_{n,k}$ es el vector unitario tangente a $S^{2n-1}$ en la dirección de aumentar $\theta_k$.

Los vectores $\textbf{U}_{n,k}(\phi_1,\ldots,\theta_{n-1})$ también puede ser definido inductivamente por la fórmula $$ \textbf{U}_{n,n-1}(\phi_1,\ldots,\theta_{n-1}) \;=\; (\cos \theta_{n-1})\,\bigl(\boldsymbol{\Sigma}_{n-1}(\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta_1,\ldots\theta_{n-2})\bigr)^un \,-\, (e^{i\phi_n}\sin \theta_{n-1})\,\textbf{e}_{n} $$ y $\textbf{U}_{n,k}(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1}) = \bigl(\textbf{U}_{n-1,k}(\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta_1,\ldots,\theta_{n-2})\bigr)^a$$k<n-1$.

Deje $M_n(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$ el valor del $n\times n$ unitario de la matriz cuyas columnas son los vectores de esta base ortonormales: $$ M_n \;=\; \begin{bmatrix}\textbf{U}_{n,1} & \cdots & \textbf{U}_{n,n-1} & \boldsymbol{\Sigma}_n\end{bmatrix}. $$ Por lo $M_n(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$ mapas de $\textbf{e}_n$ a un punto arbitrario $\boldsymbol{\Sigma}_{n}(\phi_1,\ldots,\phi_n,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$ en la unidad de $(2n-1)$-esfera.

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Parametrización de $U(n)$

Nuestra parametrización para $U(n)$ será un inductivamente función definida por $\Phi_n$, que se llevará a la $n^2$ ángulos $\{\phi_{jk}\}_{1\leq j\leq k\leq n}\cup\{\theta_{jk}\}_{1\leq j < k\leq n}$ como entrada y salida de un $n\times n$ matriz en $U(n)$. Se define inductivamente por la regla $$ \Phi_1(\phi_{11}) \;=\; e^{i\phi_{11}}. $$ y $$ \Phi_n\bigl(\phi_{jk}\text {s'},\theta_{jk}\text {s'}\bigr) \;=\; M_n(\phi_{1,n},\ldots,\phi_{n,n},\theta_{1,n},\ldots,\theta_{n-1,n})\, \bigl(\Phi_{n-1}(\phi_{jk}\text {s'},\theta_{jk}\text {s'})\bigr)^un $$ donde el producto es una matriz de producto, y las entradas a $\Phi_{n-1}$ incluyen todas las variables para las que se $k\leq n-1$. Conceptualmente, el segundo factor, se realiza una arbitraria unitaria de transformación en el primer $n-1$ coordenadas y, a continuación, el primer factor que realiza una transformación unitaria que los mapas de $\textbf{e}_n$ a un punto arbitrario en $S^{2n-1}$.

De nuevo, si dejamos $E_n$ ser el subconjunto del espacio de parámetros definidos por $0\leq \phi_{jk}\leq 2\pi$$0\leq \theta_{jk} \leq \pi/2$, $\Phi_n$ mapas de $E_n$ a $U(n)$ $\Phi_n$ es uno-a-uno en el interior de $E_n$.

La forma de volumen en $U(n)$ correspondiente a la medida de Haar es $$ dV \;=\; \left(\prod_{1\leq j < k \leq n} \cos \theta_{jk} \sin^{2j-1} \theta_{jk} \right) d\phi_{11} \cdots d\theta_{n-1,n}. $$ Tenga en cuenta que esta medida no está normalizada. En lugar de ello, el volumen total de $U(n)$ es el producto $$ \prod_{k=1}^{n} \mathrm{Vol}(S^{2k-1}), $$ donde $\mathrm{Vol}(S^{2k-1})$ indica el $(2k-1)$-dimensiones de volumen (es decir, área de la superficie de la unidad de la esfera en $\mathbb{C}^k$.

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Algunos Ejemplos

Para $n=2$, estamos parametrización $U(2)$ $4$ variables $\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22},\theta_{12}$ donde$0\leq\phi_{jk}\leq 2\pi$$0\leq \theta_{12} \leq \pi/2$. El parameteriztion $\Phi_2(\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22},\theta_{12})$ es la siguiente matriz producto $$ \begin{bmatrix} e^{i\phi_{12}} \cos\theta_{12} & e^{i\phi_{12}}\sin \theta_{12} \\ -e^{i\phi_{22}}\sin\theta_{12} & e^{i\phi_{22}}\cos \theta_{12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}e^{i\phi_{11}} & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$ La forma de volumen es $$ dV \;=\; \cos \theta_{12} \sin \theta_{12} \,d\phi_{11}\,d\phi_{12}\,d\phi_{22}\,d\theta_{12}, $$ y el volumen total de $U(2)$$(2\pi)(2\pi^2) = 4\pi^3$.

Para $n=3$, estamos parametrización $U(3)$ con nueve parámetros de $\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22},\phi_{13},\phi_{23},\phi_{33},\theta_{12},\theta_{13},\theta_{23}$ donde$0\leq\phi_{jk}\leq 2\pi$$0\leq \theta_{jk} \leq \pi/2$. La parametrización $\Phi_3(\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22},\phi_{13},\phi_{23},\phi_{33},\theta_{12},\theta_{13},\theta_{23})$ es el producto de la matriz $$ \begin{bmatrix} e^{i\phi_{13}} \cos \theta_{13} & e^{i\phi_{13}} \sin \theta_{13} \cos \theta_{23} & e^{i\phi_{13}} \sin \theta_{13} \sin \theta_{23} \\ -e^{i\phi_{23}} \sin \theta_{13} & e^{i\phi_{23}} \cos \theta_{13} \cos \theta_{23} & e^{i\phi_{23}} \cos \theta_{13} \sin \theta_{23} \\ 0 & -e^{i\phi_{33}} \sin \theta_{23} & e^{i\phi_{33}} \cos \theta_{23} \end{bmatrix} $$ con $\begin{bmatrix}\Phi_2(\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22},\theta_{12}) & \textbf{0} \\ \textbf{0}^T & 1\end{bmatrix}$. La forma de volumen es $$ dV \;=\; \bigl(\cos\theta_{12}\sin \theta_{12}\bigr) \bigl(\cos\theta_{13}\sin \theta_{13}\bigr) \bigl(\cos \theta_{23}\sin^3 \theta_{23}\bigr)\,d\phi_{11}\cdots d\theta_{23}, $$ y el volumen total de $U(3)$$(2\pi)(2\pi^2)(\pi^3) = 4\pi^6$.