Qué $\mathbb{Z}_5(\sqrt[3]{3})$ sentido? O, podemos extender siempre un campo por una raíz de un polinomio irreductible?

Question

Estoy preparando la asignación de preguntas para un curso en el anillo/de la teoría de campo. Vamos a poco a estar buscando en los campos de la extensión, y los estudiantes tienen el propósito de entender lo que la notación como $\mathbb{R}(i)$ medios.

Dos ejemplos de preguntas que podrían surgir:

• Si la pregunta se le pide que describa los elementos en $\mathbb{Z}_5(\sqrt{3})$, el estudiante se espera que reconocer que el polinomio $x^2-3$ no tiene raíz en $\mathbb{Z}_5$, y por lo tanto es irreducible en a $\mathbb{Z}_5[x]$, y así definir algún elemento $\omega$ como una raíz de $x^2-3$, y establecer $\mathbb{Z}_5(\sqrt{3})=\mathbb{Z}_5(\omega)$, desde el cual se pueden identificar los elementos.

• Si la pregunta se le pide que describa los elementos en $\mathbb{Z}_7(\sqrt{2})$, el estudiante se espera que reconocer que el polinomio $x^2-2=(x-3)(x-4)$, y por lo tanto es reducible en $\mathbb{Z}_7[x]$, y por lo tanto reconocer que $\mathbb{Z}_7(\sqrt{2})=\mathbb{Z}_7$ (a través de: si definimos $\omega$ como una raíz de $x^2-2$$\omega \in \{3,4\}$, y por lo $\omega \in \mathbb{Z}_7$).

Sin embargo, es posible tener un "parcialmente reducibles" polinomio (es decir, uno que no es un factor totalmente en factores lineales en $F[x]$). Lo que nos lleva a la siguiente pregunta:

Qué $\mathbb{Z}_5(\sqrt[3]{3})$ sentido? (I. e. La extensión del campo que contiene $\mathbb{Z}_5$$\sqrt[3]{3}$.)

Si queremos usar el método anterior, podemos identificar que el polinomio $x^3-3=(x-2)(x^2+2x+4)$, y por lo tanto es reducible en $\mathbb{Z}_5[x]$. Si definimos $\omega$ como una raíz del polinomio $x^3-3$, entonces:

• $\omega$ podría ser $2$, en cuyo caso $\omega \in \mathbb{Z}_5$$\mathbb{Z}_5(\omega)=\mathbb{Z}_5$.
• $\omega$ lugar podría ser una raíz de $x^2+2x+4$, en cuyo caso $\mathbb{Z}_5(\omega) \neq \mathbb{Z}_5$.

A fin de subsanar este problema, parece que debe haber algún tipo de restricción en la notación $F(\omega)$, tal como "esta es semánticamente incorrecto, a menos que $\omega$ es derivada de un polinomio irreducible en $F[x]$", pero esto sería la ruina de la segunda pregunta anterior.

Answer 1

Douglas,

este no es el uso correcto y puede ser muy engañoso. Parece que se han confundido, por lo que debe ser aún más confuso para los estudiantes que están aprendiendo.

Aquí está la forma en que se utiliza la mayor parte del tiempo:

Deje $K$ ser un campo dentro de un campo más amplio $L$. Deje $\alpha\in L$ ser un elemento. A continuación, $K(\alpha)$ denota el menor subcuerpo de $L$ que contiene tanto $K$$\alpha$. Obviamente, si $\alpha\in K$,$K(\alpha)=K$. De lo contrario, si $\alpha$ no es algebraico sobre$K$,$K(\alpha)\simeq K(x)$. Si $\alpha$ es algebraico sobre $K$, entonces existe un irreductible polinomio $p\in K[x]$ tal que $p(\alpha)=0$ y, a continuación,$K(\alpha)\simeq K[x]/(p)$. Esta última construcción de las obras aún sin especificar $L$ si empezamos por $p$. (Estoy seguro de que usted sabe todo esto, pero necesito establecer el fondo.)

Ahora, cuando uno dice $K(\sqrt 2)$, luego de que en realidad significa (o debería significar) que desee considerar la extensión de $K$ con una raíz de $x^2-2$. En verdad esto es una chapuza de acceso directo y uno tiene que ser cuidadoso en la forma de usarlo. De hecho, no es una muy buena notación precisamente por el tema que usted plantea. Si el polinomio no es irreducible, entonces no está claro lo que se quiere definir. Imagina un campo en el que $x^d-\lambda$ es un producto de dos polinomios irreducibles sin raíces, pero que son diferentes. Se extiende por $\sqrt[d]\lambda$ podría resultar en dos completamente diferentes de campo. Así, esto debe ser evitado.

En otras palabras, no es una restricción en el sentido de $F(\omega)$ (sospecha). Y "ruinas" su problema como se indica. Bueno, en realidad es más como esto no está bien-enunciado de problema. En mi opinión, incluso el uno con $\mathbb Z_7(\sqrt 2)$ no es un buen problema, porque sugiere un uso inadecuado.

Lo que podría hacer en su lugar es para pedir la división de campo de los polinomios. Para los que tendrían que lindan con raíces largas, ya que hay un factor que no es lineal.

Answer 2

No. $\mathbb{Z}_5(\sqrt[3]{3})$ no tiene sentido, ya que no está determinado de manera única.