Es $\int_0^\infty x^{a-1} (1-x)^{b-1} e^{t-cx} dx$ integrable?

Question

Estoy tratando de evaluar la integral de abajo. Es integrable? (En línea integral de los solvers por ejemplo, WolframAlpha no podía resolver el indefinido o el de la integral definida.)

$$\int_0^\infty x^{a-1} (1-x)^{b-1} \, e^{t-cx} dx$$

donde $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$, y $t$ es cualquier número real.

Answer 1

Mathematica encontrado una respuesta como:

$$\left.e^t \left(-(-1)^b c^{-a-b+1} \Gamma (a+b-1) \, _1F_1(1-b;-a-b+2;-c)+\frac{\Gamma (a) \Gamma (b) \, _1F_1(a;a+b;-c)}{\Gamma (a+b)}-\frac{(-1)^b \Gamma (b) \Gamma (-a-b+1) \, _1F_1(a;a+b;-c)}{\Gamma (1-a)}\right),\\\Re(b)>0\land \Re(c)>0\land \Re(a)>0\right]$$

Que no parezca demasiado "cerrado" para mí, pero puede ser un punto de partida para otros.

Answer 2

$\int_0^\infty x^{a-1}(1-x)^{b-1}e^{t-cx}~dx$

$=e^t\int_0^\infty x^{a-1}(1-x)^{b-1}e^{-cx}~dx$

$=e^t\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}e^{-cx}~dx+e^t\int_1^\infty x^{a-1}(1-x)^{b-1}e^{-cx}~dx$

$=e^t\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}e^{-cx}~dx-(-1)^be^t\int_1^\infty x^{a-1}(x-1)^{b-1}e^{-cx}~dx$

$=e^t\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}e^{-cx}~dx-(-1)^be^t\int_0^\infty(x+1)^{a-1}x^{b-1}e^{-c(x+1)}~d(x+1)$

$=e^t\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}e^{-cx}~dx-(-1)^be^{t-c}\int_0^\infty x^{b-1}(x+1)^{a-1}e^{-cx}~dx$

$=\dfrac{e^t\Gamma(a)\Gamma(b)M(a,a+b,-c)}{\Gamma(a+b)}-(-1)^be^{t-c}\Gamma(b)U(b,a+b,c)$ (de acuerdo a http://en.wikipedia.org/wiki/Confluent_hypergeometric_function#Integral_representations)

Answer 3

Te has preguntado acerca de

$$\int_0^\infty x^{a-1} (1-x)^{b-1} e^{t-cx} \: dx$$

Y si $b$ es un número entero,

$$ e^t \int_0^\infty x^{a-1} \left (\sum_{k=0}^{b-1} (-1)^k {b-1 \choose k} x^k \right) e^{-cx} \: dx$$ aplicando el teorema del binomio para $(1-x)^{b-1}$. Después de un poco de reordenamiento esto se convierte en $$ e^t \sum_{k=0}^{b-1} (-1)^k {b-1 \choose k} \int_0^\infty e^{-cx} x^{a+k-1} \: dx$$ y esta última integral se puede escribir en términos de la función gamma. Esto da una fórmula para su función como una suma de $b$ términos.