Valor esperado de la raíz cuadrada de la variable aleatoria Poisson

Question

Encuentre el valor esperado de $\sqrt{K}$ donde $K$ es una variable aleatoria según la distribución de Poisson con parámetro $\lambda$ .

No sé cómo calcular la siguiente suma:

$E[\sqrt{K}]= e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \sqrt{k} \frac{\lambda^k}{k!} $

Basado en Wiki ( https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution ) Sé que debería ser aproximadamente $\sqrt{\lambda}$ .

Answer 1

Por lo general, para que las cosas sean suaves $g(X)$ se puede hacer una expansión de Taylor alrededor de la media $\mu=E(X)$ :

$$g(X)=g(\mu) + g'(\mu)(X-\mu)+ \frac{g^{''}(\mu)}{2!}(X-\mu)^2+ \frac{g^{'''}(\mu)}{3!}(X-\mu)^3+\cdots$$

Así que

$$E[g(X)]=g(\mu) + \frac{g^{''}(\mu)}{2!}m_2+ \frac{g^{'''}(\mu)}{3!} m_3+\cdots $$

donde $m_i$ es el $i$ -en un momento centrado. En nuestro caso $m_2=m_3 =\lambda$ Así que..:

$$E[g(X)]=\sqrt{\lambda} - \frac{\lambda^{-1/2}}{8} + \frac{ \lambda^{-3/2}}{16} +\cdots $$

Esta aproximación sólo es útil si $\lambda \gg 1$

Answer 2

En $\lambda=0$ ya has escrito la expansión de la serie así que $$E(\sqrt{ P_\lambda})=(1-\lambda+O(\lambda^2))(\lambda+\frac {\sqrt 2}2\lambda^2+O(\lambda^3))=\lambda-(1-\frac {\sqrt 2}2)\lambda^2+O(\lambda^3)$$ En $\lambda=\infty$ , $\epsilon_\lambda=\frac {P_\lambda-\lambda}\lambda$ está muy concentrado (aproximadamente normal) alrededor de $0$ con la media $0$ y la varianza $\frac 1 \lambda$ para que puedas ampliar $\sqrt {P_\lambda}=\sqrt \lambda(1+\frac 1 2\epsilon_\lambda-\frac 1 8\epsilon_\lambda^2+O(\epsilon_\lambda^3))$ para que $$E(\sqrt {P_\lambda})=\sqrt \lambda(1-\frac 1 8 \lambda^{-1}+o(\lambda^{-{3/2}})).$$