Teorema. (Cantor). Deje $X$ ser countably infinito y linealmente ordenado por $<_X$ no $<_X$ más grande ni $<_X$-el más pequeño miembro, y de tal manera que $<_X$ es de orden-denso . (Es decir, si $a<_Xa'$ existe $a''$ $a<_Xa''<_X a').$ $(X,<_X)$ es de orden-isomorfo a $(\Bbb Q,<)$ donde $<$ es el orden usual en $\Bbb Q$.
Corolario. Cualquiera de las dos lineal de los pedidos son de orden-isomorfo a cada uno de los otros.
Tenemos $\Bbb R$ \ $A= (-\infty, \min A)\cup (\max A,\infty)\cup (\cup F_A)$ donde $F_A$ es un countably familia infinita de pares disjuntos no vacíos delimitada abrir intervalos cuyos cierres son de pares distintos.
Tenemos $\Bbb R$ \ $B=(-\infty,\min B)\cup (\max B,\infty)\cup (\cup F_B)$ donde $F_B$ es un countably familia infinita de pares disjuntos no vacíos delimitada abrir intervalos cuyos cierres son de pares distintos.
Para $U,V\in F_A$ deje $U<_A V \iff \sup U<\inf V.$
Para $U',V'\in F_B$ deje $U'<_B V'\iff \sup U'<\inf V'.$
Por el corolario anterior, existe un orden, un isomorfismo $\psi:F_A\to F_B.$, $\psi$ es un bijection y $U<_AV\iff \psi (U)<_B \psi (V).$
Para $U\in F_A$ deje $f$ mapa de $\overline U$ linealmente en $\overline {\psi(U)}$ $f (\inf U)=\inf (\psi (U)).$ Deje $f$ mapa de $(-\infty,\min A]$ linealmente en $(-\infty,\min B].$ Deje $f$ mapa de $[\max A,\infty)$ linealmente en $[\max B,\infty).$
Para $x\in A,$ si $x$ no es un punto final de cualquier miembro de $F_A,$ e si $\min A \ne x \ne \max A$$x=\sup \{\sup U: U\in F_A\land \sup U<x\}$. Deje $f(x)=\sup \{\sup \psi(U): U\in A\land \sup U<x\}. $
Comentario: El corolario puede ser probada directamente por medios elementales.
