(Revisada) Demostrar que $\phi$ es un grupo homomorphism y encontrar el núcleo.

Question

Citando " Vamos a $\phi : \Bbb Z \rightarrow \Bbb Z$ ser dado por $\phi(n) = 7n$. Demostrar que $\phi$ es un grupo homomorphism. Encontrar el núcleo y la imagen de $\phi$."

A mi entender:

Parte 1:

Dado $n,m \in \Bbb Z$, vamos a ver que $\phi(n+m) =\phi(n)+\phi(m)$

$$\phi(n+m) = 7(n+m) = 7n + 7m = \phi(n)+\phi(m)$$

Por lo tanto, como el grupo de operación $\phi$ se conserva, $\phi$ es un grupo homomorphism.

Parte 2 (revisado):

• $\phi$ es uno-a-uno como: $\space \space \phi (n) = \phi(m) \Rightarrow 7n =7m \Rightarrow n=m $. También sabemos que $\phi(e)=e$ por la propiedad de homomorphism. Por lo tanto, no hay ningún otro objeto que el de $0$ en el dominio puede asignar a $0$ en el codominio. De ello se sigue que: $$\ker(\phi)=\{ x \in \Bbb Z : \phi(x)=e\}=\{e\}$$

Parte 3 (revisada):

Puedo afirmar que la única imagen posible-elementos de $\phi$ son los múltiplos de $7$ $\mathbb Z$ denotado $7\mathbb Z$.

Para probar esto, he de mostrar que Im$(\phi) \subset 7 \Bbb Z$ y $ 7 \Bbb Z \subset $ Im$(\phi)$.

Demostrando Im$(\phi) \subset 7 \Bbb Z$ :

• $\forall y \in $ Im$(\phi)$ tal que $ y =\phi(x)$ donde $x \in 7 \Bbb Z$. De ello se desprende que $y \in 7 \Bbb Z$, por lo tanto Im$(\phi) \subset 7 \Bbb Z$

Demostrando $ 7 \Bbb Z \subset $ Im$(\phi)$:

• $\forall y \in 7\Bbb Z$ tal que $ y =7x$ donde $x \in \phi(x)$. De ello se desprende que $y \in \phi(x)$, por lo $ 7 \Bbb Z \subset $ Im$(\phi)$.

Cualquier entrada, a mi entender, se agradece mucho.

Answer 1

Su primera parte es correcta, en el segundo se puede escribir $ker(\phi) = \{e\}$.

Acerca de la imagen - se puede demostrar que los $im(\phi) = 7 \Bbb Z$ por doble inclusión.

Answer 2

De hecho, es un grupo de homomorphism, y es inyectiva, por lo tanto, su núcleo es trivial.

Para la parte $3$, el objetivo es mostrar que la $\operatorname{Im}\phi = 7\mathbb Z$.

Dado un entero $k$, su imagen es $7k$, un miembro de $7\mathbb Z$, lo $\operatorname{Im}\phi \subseteq 7\mathbb Z$

Dado un entero $n=7k \in 7\mathbb Z$, no el entero $k\in \mathbb Z$, la imagen de que es $7k$, por lo $7\mathbb Z \subseteq \operatorname{Im}\phi$.