¿Cómo puede una curva cerrada simple no parecerse localmente a la gráfica rotada de una función continua?

Question

Una curva cerrada simple es una curva cerrada continua sin auto-intersecciones. La cuestión de si se puede inscribir un cuadrado en cada curva cerrada simple es actualmente un problema abierto, pero esta página describe un importante resultado parcial:

Teorema de Stromquist: Si la curva simple cerrada J es "suficientemente bonita" entonces tiene un cuadrado inscrito....

Aquí, "suficientemente agradable" significa lo siguiente: para cada punto P de la curva debe existir un sistema de coordenadas para el plano en el que algún trozo de la curva que contenga a P sea la gráfica y = f(x) de una función continua.

Mi pregunta no se refiere al teorema de Stromquist en sí, sino a la condición denominada "suficientemente bueno". Es alucinante que pueda haber una simple curva cerrada que no cumpla esta condición.

Puedo entender curvas continuas que fallan la prueba de la línea vertical, porque dos puntos distantes en la curva tienen el mismo valor x, y puedo entender situaciones donde la prueba de la línea vertical falla localmente en la parte de una curva que contiene P, porque los puntos en esa parte de la curva están agrupados alrededor de una línea vertical. Pero me resulta totalmente contraintuitivo que pueda haber un punto P en una curva cerrada simple de forma que ningún arco de la curva en las proximidades de P, por pequeño que sea, pueda superar la prueba de la línea vertical, independientemente de cómo se gire el arco.

¿Existe algún ejemplo sencillo de una curva de este tipo? Preferiría un ejemplo en el que el interior de la curva cerrada simple fuera una región convexa, porque ése es el caso al que mi intuición se opone más enérgicamente.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias por adelantado.

EDITAR: Wikipedia me dice que la propiedad que he estado llamando "suficientemente agradable" se conoce en realidad como "localmente monótona".

Answer 1

Esto es sobre todo un resumen de mis comentarios anteriores.

Una gráfica de una función (continua) tiene la propiedad de que sólo tiene una $y$ para cada $x$ más geométrico en términos de la prueba de la línea vertical: Cualquier línea vertical intersecará la función como máximo una vez. Por tanto, una curva de una función rotada pasará la "prueba de la línea vertical" cuando las líneas formen un ángulo con la función, y esto caracteriza a las curvas que son localmente funciones rotadas. Una forma algebraica de expresarlo es que existe un vector $v$ tal que $\gamma(t)\cdot v$ es estrictamente monótona.

No es difícil encontrar contraejemplos:

• La doble espiral es tal que cada línea que pasa por el origen interseca la curva infinitas veces (incluso cuando se restringe a vecindades de $0$ ), por lo que no supera la prueba de la línea vertical.

• Esta curva viola la prueba de una manera algo diferente. Cualquier línea con pendiente superior a $\frac12$ que pasa por el origen interseca la curva infinitas veces, pero las que tienen pendiente menor que $\frac12$ intersecan la curva una vez. Sin embargo, sigue sin superar la prueba en las proximidades del origen, ya que si la línea se desplaza justo por encima del origen, siempre intersecará la curva al menos dos veces.

• El copo de nieve Koch es un fractal que falla la prueba de la línea vertical en cada punto. Para ver esto: Cualquier vecindad $U$ de un punto del fractal final contendrá un segmento de línea entero $\ell$ de una de las aproximaciones (elija una tal que el círculo con $\ell$ ya que su diámetro también está contenido en $U$ ). Todos los "refinamientos" posteriores de este segmento de línea están contenidos en un triángulo de base $\ell$ y altura $\frac1{2\sqrt3}|\ell|$ (también puede considerarse como el casco convexo del primer refinamiento de $\ell$ ), que por lo tanto están todos en $U$ . El primer refinamiento contiene un "pico" formado por dos líneas que apuntan en la misma dirección que la normal exterior de $\ell$ los refinamientos posteriores contienen picos rotados para que las seis direcciones posibles estén representadas entre los refinamientos a $\ell$ . Dada cualquier "dirección hacia arriba" $v$ hay un "pico" tal que una línea tiene $n_1\cdot v>0$ y el otro tiene $n_2\cdot v<0$ una línea que pase por este pico es un fallo de la prueba.

Sin embargo, si se sabe que la curva encierra una región convexa, entonces pasará la prueba en cada uno de sus puntos. Supongamos que la curva $\gamma$ encierra una región delimitada $S$ ( $S$ se considera abierto, es decir, el interior), donde $\partial S=\operatorname{ran}\gamma$ y tal que $S$ es convexa. Dado un punto $P$ en la curva, elige un punto $O\in S$ y establecer el sistema de coordenadas de forma que $O$ es el origen y $P$ está en el positivo $y$ -Eje. Dado que $O\in S$ y $S$ está abierto, hay $r$ tal que $B(O,r)\subseteq S$ . Así, los puntos $(x,0)$ para $x\in(-r,r)$ están todos en $S$ . Desde $S$ está acotada, para cada $x$ el conjunto $\{y:(x,y)\in\bar S\}$ tiene un límite superior; sea $f(x)$ sea el supremum de este conjunto. Entonces $(x,f(x))\in\bar S$ porque $\bar S$ está cerrado, y $(x,f(x)+\varepsilon)\notin S$ implica $(x,f(x))\in\partial S$ Así que $(x,f(x))$ está en la curva.

Supongamos ahora que $(x,y)\in\partial S$ para algunos $y\in(0,f(x))$ . Entonces existen $\delta_1,\delta_2$ tal que $(x+\delta_1,y+\delta_2)\notin\bar S$ . Elija uno lo suficientemente pequeño como para que $y+\delta_2\in(0,f(x))$ y la línea a través de $(x,f(x))$ y $(x+\delta_1,y+\delta_2)$ cruza el $x$ -eje en algún $x+\varepsilon\in(-r,r)$ . Ahora tenemos una contradicción, porque la línea $(x,f(x))\to(x+\delta_1,y+\delta_2)\to(x+\varepsilon,0)$ tiene $(x,f(x))\in\bar S$ , $(x+\delta_1,y+\delta_2)\notin\bar S$ y $(x+\varepsilon,0)\in\bar S$ Sin embargo $\bar S$ es convexa (ya que $S$ es). Por lo tanto, no hay otros puntos tales que $(x,y)\in\partial S$ Así que $\gamma$ restringido a la región $(-r,r)\times[0,\infty)$ es una vecindad de $P$ que es localmente la gráfica de una función (continua).