¿Cómo se puede simplificar $¬(¬∃x, P(x))$$\neg(\neg\forall x,P(x))$?

Question

Lo que he aprendido hasta ahora:

$\lnot$($\forall$$x$, P($x$)) $=$ $\exists$$x$, $\lnot$P($x$)

$\lnot$($\exists$$x$, P($x$)) $=$ $\forall$$x$, $\lnot$P($x$)

Tan lejos y tan bien (espero!)

Pero, ¿qué acerca de la negación de un negativo "para todos" o "no existe":

$\lnot$($\lnot$$\forall$$x$, P($x$)) $=$ ???

$\lnot$($\lnot$$\exists$$x$, P($x$)) $=$ ???

Uno de los problemas que se dice, por ejemplo:

Sea F(x, y) el enunciado "x puede engañar y". Escribir "Nadie puede engañar a sí mismos" con cuantificadores, negarlo y, a continuación, escriba la negación en inglés:

Mi respuesta:

• Cuantificadores: $\lnot$$\exists$$x$ $F(x, x)$
• La negación: $\exists$$x$ $F(x, x)$
• Inglés: Alguien puede engañar.

Siento que esto es correcto, pero quiero estar seguro: cuando usted le niega toda una declaración de que ya tiene un cuantificador negativo, que cuantificador simplemente pierde el "no", y NO se convierta en el opuesto cuantificador?

Answer 1

En este caso, como con las proposiciones, cuando ha $\lnot (\lnot [\text{foo}])$, tenemos la "doble negación": de manera efectiva la cancelación, quedándose solo con $[\text{foo}]$

Por eso, $$\lnot(\lnot \forall x, P(x)) \equiv \forall x, P(x)$$

$$\lnot(\lnot \exists x, P(x)) \equiv \exists x, P(x)$$

Su primera traducción es correcta: $$\lnot \exists x, F(x, x)$$

Tenga en cuenta que $$\lnot \exists x, F(x, x)\equiv \forall x, \lnot F(x, x)$$

Y la negación de esto es $$\lnot(\lnot \exists x, F(x, x)) \equiv \exists x, F(x, x)$$

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Añadido: traducción de la negación de la proposición es correcta, dado el dominio es la de "toda la gente": "No existe alguien que puede engañar a sí mismo," que es menos torpemente declaró como "Alguien puede engañar."

Answer 2

Creo que están confundiendo a sí mismo mediante la distinción entre el $\neg \exists x \ F(x, x)$, e $\neg(\exists x \ F(x, x))$, cuando en realidad ambos son exactamente los mismos. Así que tendría

$$\neg(\neg \exists x \ F(x, x)) \equiv \exists x \ F(x, x)$$

Answer 3

Así que, intenta asumir que las negaciones no se cancelan uno al otro si usted tiene un número de negaciones antes de los cuantificadores. A continuación, se necesita seguir las reglas de intercambio más a fondo.

Si (∀x, P(x)) = ∃x, P(x), y si (∃x, P(x)) = ∀x, P(x), entonces se sigue que

(∃x, P(x)) = ∀x, P(x)

∀x, P(x)=(∃x, P(x)).

Que en consecuencia, podría suponer que se da el caso de que P(x) es una proposición, entonces iba a seguir de lo que se podría inferir ∃x, P(x)=∃x, P(x) de esta manera (que amWhy hace en el comentario anterior). Esto implica que en la lī ogica, P(x) sería una proposición (pero es P(x) para todo, o para algunos? Es P(x) de una proposición en la lī ogica?). Pero, la fórmula (∃x, P(x)) presupone la proposición en cuestión es ∃x, P(x), no P(x). Así, el número de negaciones son eliminados antes de que cualquier cuantificador experiencias de intercambio. Dicho esto, si usted fuera a permitir que P(x) es una proposición y ∃x, P(x) fueron las dos proposiciones, entonces usted podría eliminar el número de negaciones, de cualquier manera.