$f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} (1 - \frac{1}{k}) x_k$ está delimitado por $x=(x_k) \in \ell_1$ y encontrar su norma.

Question

La pregunta es la siguiente:

Demostrar que el funcional $f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} (1 - \frac{1}{k}) x_k$ es lineal acotado para $x=(x_1, x_2, \ldots) \in \ell_1$ y encontrar su norma.

$\textbf{Some effort:}$

Primero tomamos nota de que $f:\ell_1 \to \mathbb{R}$. Por lo que podemos utilizar de Cauchy-Schwarz desigualdad, y por tanto tenemos

\begin{align} |f(x)| &= \left|\sum_{k=1}^{+\infty} \left(1 - \frac{1}{k}\right) x_k\right|\\ &\le \sum_{k=1}^{+\infty} \left|\left(1 - \frac{1}{k}\right)x_k\right|\\ &\le \sum_{k=1}^{+\infty} \left|1 - \frac{1}{k}\right| |x_k|\\ &\le \left\|\sum_{k=1}^{+\infty} \left(1 - \frac{1}{k}\right)\right\|_{\infty} \|x\|_1\\ &= \sup_{n \in \mathbb{N}} \left\|\sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{k}\right)\right\|_{\infty}\|x\|_1 \end{align}

Por lo $f$ es limitado y $\|f\| \leq \sup_{n\in\mathbb{N}} \left| \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{k}\right)\right| $

Por favor, hágamelo saber si mi cálculo no es correcto?

Y por favor, hágamelo saber cómo puedo encontrar sus normas?

Gracias!

Answer 1

Para $x = (x_1, x_2, \ldots ) \in \ell^1$ tenemos:

$$|f(x)| = \left|\sum_{k=1}^\infty \frac{k-1}{k} x_k\right| \le \sum_{k=1}^\infty \underbrace{\frac{k-1}{k}}_{\le 1} |x_k| \le \sum_{k=1}^\infty |x_k| = \|x\|_1$$

por lo $f$ es limitado y $\|f\| \le 1$.

Ahora considere el$e_n \in \ell^1$, $n$- ésimo vector canónico. Tenemos:

$$\|f\| \ge \frac{|f(e_n)|}{\|e_n\|_1} = \frac{\frac{n-1}{n}}{1} = \frac{n-1}{n} \xrightarrow{n\to\infty} 1$$

Por lo $\|f\| \ge 1$. Llegamos a la conclusión de $\|f\| = 1$.