números naturales infinitamente descendentes

Question

Demuestre que no existe una secuencia infinitamente descendente de números naturales.

Estaba pensando que no existe ninguna cadena descendente infinita sobre los números naturales, ya que toda cadena de números naturales tiene un elemento mínimo. Y así llega a un mínimo finito.

P.D. Sólo estoy buscando una solución bien construida, ya que no puedo expresar la prueba muy claramente.

Answer 1

Supongamos que el primer número de la secuencia es $n$ . Entonces puede haber como máximo $n$ términos de la secuencia, ya que el segundo término es como máximo $n-1$ la tercera $n-2$ etc.

Answer 2

Los números naturales están bien ordenados por la habitual $\le$ es decir, cada subconjunto $S\subseteq \mathbb{N}$ tiene un $\le$ -menor elemento. Si existiera una secuencia infinitamente descendente $a_1,a_2,\ldots$ de números naturales, es decir, con $a_1>a_2>\cdots$ entonces $S=\{a_1,a_2,\ldots\}$ no tendría un $\le$ -menor elemento. Contradicción.

Answer 3

¿Qué entiende por número natural? ¿Sólo los números positivos? ¿O los números positivos junto con $0$ ?

En cualquier caso, puedes demostrarlo "por construcción" o "por contradicción" (una de las dos, no estoy seguro de cuál). Elija cualquier gran número natural, por ejemplo, $n = 10^{10^{10^{34}}}$ (es un número grande, ¿te imaginas tenerlo en dólares?) para que sea el primer término de tu secuencia infinitamente descendente. La secuencia descenderá en pasos de $1$ . Por lo tanto, el segundo término es $10^{10^{10^{34}}} - 1$ . El tercer término es $10^{10^{10^{34}}} - 2$ . Entonces $10^{10^{10^{34}}} - 3$ . Te quedarías dormido en algún momento, pero teóricamente llegarías a $10^{10^{10^{34}}} - 10^{10^{10^{34}}} + 1 = 1$ . El siguiente término sería $0$ que tal vez consideres un número natural. Pero el siguiente término sería $-1$ que probablemente no consideres un número natural.

Es posible que también consideres que los números negativos son números naturales. Si es así, no discutiré contigo. El descenso a los números negativos puede continuar indefinidamente, pero afortunadamente el termómetro no puede bajar demasiado. $-40$ .

Answer 4

Una búsqueda en Google de "inducción y descenso infinito" se obtienen muchos resultados.

Este parece bueno y no está detrás de un muro de pago:

http://www.mathpages.com/home/kmath144/kmath144.htm

Answer 5

Un número entero es finito, y un número finito no puede ser infinitamente decente, por definición