¿Puede un isomorfismo de anillo cambiar la estructura de un módulo?

Question

Sea $M$ ser un $R$ -módulo, donde $R$ es un anillo con unidad. Dado un automorfismo de anillo $\phi: R \rightarrow R$ podemos definir un nuevo $R$ -sobre $M$ por $r \cdot x = \phi(r) x$ para todos $r \in R$ , $x \in M$ .

¿Podemos encontrar ejemplos en los que este módulo inducido por $\phi$ no es isomorfo a $M$ ? Parece que los dos módulos son similares al menos en muchos aspectos, por ejemplo tienen los mismos submódulos.

Puedo ver que deben ser isomorfos si $M$ es libre, ya que entonces cualquier base de $M$ es también una base para el módulo inducido. También es claramente cierto para $\mathbb{Z}$ -ya que el único automorfismo de anillo no trivial de $\mathbb{Z}$ es $x \rightarrow -x$ y el mapa inverso es un automorfismo de grupos abelianos.

Answer 1

Considere un campo $F$ y el anillo $R=F\times F$ .

Sea $M=\{0\}\times F$ tanto con el derecho común $R$ -estructura modular $(0,m)(r,s)=(0,ms)$ y que $M'$ sea el mismo conjunto con otro $R$ -dada por $(0,m)(r,s)=(0,mr)$ .

Esta segunda estructura viene dada por la involución sobre $R$ dada por $(r,s)\mapsto(s,r)$ .

El aniquilador en $R$ de $M$ es $ F\times \{0\}$ mientras que el aniquilador en $R$ de $M'$ es $\{0\}\times F$ . Dado que los módulos isomorfos comparten aniquiladores, esto demuestra $M\ncong M'$ .