Resolviendo integral $ \int \frac { \sqrt {1 - x^2} - 1}{x^2 - 1}dx$

Question

Últimamente he hecho muchas preguntas integrales. Ésta es la integral que estoy tratando de resolver: $$ \int \frac { \sqrt {1 - x^2} - 1}{x^2 - 1}dx$$

Reemplazando $x = \sin (u)$ (así $dx = \cos (u)du$ y $u = \arcsin (x)$ ) Llegué a: $$ \int \frac { \cos (u)}{ \cos ^2(u)}du - u + C$$

Esa fracción creo que es $ \sec (u)$ pero nunca aprendimos sobre la función secante en la escuela, así que prefiero no usarla. (No significa que no quiera saber cómo para usarlo, sólo quiero ser capaz de resolver esto de otra manera. :) )

Answer 1

El adjunto script que utiliza Dominio Raster trabajará para usted.

# Import arcpy module
import arcpy
from arcpy import env

# Check out any necessary licenses
arcpy.CheckOutExtension("3D")

# Set Workspace
env.workspace = r"C:\data"

# Create a polygon around the raster boundary
arcpy.RasterDomain_3d("inRaster.tif", "outShp", "POLYGON")

# Intersect points with boundary polygon
arcpy.Intersect_analysis(["outShp.shp", "points.shp"], "intersect_output", "ALL", "", "INPUT")

Para un enfoque directo, no ESRI, mira el Geospatial Modelling Environment's (GME) isectpntrst (Intersect Points With Raster) .

Answer 2

¿Por qué propone esta sustitución?

Su integral original puede ser dividida en dos partes, $$ \int \frac { \sqrt {1 - x^2} - 1}{x^2 - 1}dx = - \int \left ( \frac {1}{ \sqrt {1 - x^2}} + \frac {1}{x^2 - 1} \right )dx .$$ El antiderivado del primer término está dado por $ \arcsin (x)$ el antiderivado del segundo término está dado por $- \text {atanh}(x)$ . Así que el antiderivado total está dado por $$ \int \frac { \sqrt {1 - x^2} - 1}{x^2 - 1}dx = - \arcsin (x) + \text {atanh}(x) +C.$$