A. Autoevaluación del funcionamiento del ISAR

Question

Dado un Homeomorfismo preserva orientación del círculo $$f : S^1 \rightarrow S^1,$$ I want to define a homeomorphism of the cylinder $$F : S^1 \times \mathbb{I} \rightarrow S^1 \times \mathbb{I}$$ such that for all $x \in S^1$, we have: $F(x,0) = (f(x),0)$ and $F(x,1) = (x, 1) $.

Lo mismo pasa con 'Homeomorfismo' sustituida 'diffeomorphism.' Parece que esto es posible, pero no he podido encontrar una definición explícita. ¿Ideas, cualquier persona?

Answer 1

Esto es posible. Deje $e:\mathbb{R}\to S^1$ la cobertura de mapa de $e(s)=\exp(2\pi i s)$. Podemos, a continuación, levante $f$ a un mapa de $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $eg=fe$. La suposición de que $f$ es una orientación de la preservación de homeomorphism implica que $g$ es estrictamente creciente con $g(s+1)=g(s)+1$ todos los $s$. Ahora obtenemos $F$ por sólo interpolando linealmente entre el $g$ y la identidad. Es decir, podemos definir $$F(e(s),t)=(e(ts+(1-t)g(s)),t).$$ Es fácil comprobar esto es un homeomorphism; el punto clave es que para cualquier $t$, $h_t(s)=ts+(1-t)g(s)$ es de nuevo una estrictamente creciente mapa con $h_t(s+1)=h_t(s)$.

Si $f$ era no sólo un homeomorphism pero un diffeomorphism, a continuación, $g$ será un diffeomorphism (como todos los mapas $h_t$), y se deduce fácilmente que el $F$ también será un diffeomorphism.

Answer 2

Esta es una adición a Eric Wofsey la respuesta, con respecto a lo que sucede en las dimensiones superiores: Dada una orientación-la preservación de homeomorphism (diffeomorphims) $f: S^n\to S^n$, hay un homeomorphism (diffeomorphism) $$F: S^n\times I\to S^n\times I$$ tal que $F(x,0)=(f(x),0), F(x,1)=(x,1)$?

La respuesta en la configuración de homeomorphisms es positivo para todos los $n$: Cada orientación de la preservación de homeomorphism $f: S^n\to S^n$ es homotópica a la identidad y, por lo tanto (Alexander, et al, ver este Mathoverflow discusión) isotópico a la identidad. Esta isotopía $f_t$ de los rendimientos de un homeomorphism $F(x,t)=(f_t(x),t)$, $S^n\times I\to S^n\times I$.

En el marco de diffeomorphisms, la respuesta es mucho más interesante, es la cuestión de la concordancia de (orientación de la conservación) diffeomorphisms $S^n\to S^n$ para el mapa de identidad. El espacio de la concordancia de las clases de formas un grupo abelian, llamado $\Gamma^n$. Este grupo es trivial para todos los $n\le 5$ y, por lo tanto, un diffeomorphic extensión de $F: S^n\times I\to S^n\times I$ siempre existe en este rango ($n=1$ es un caso muy especial). Sin embargo, para $n=6$ el grupo $\Gamma^6$ es trivial y tiene orden de 28. En particular, existe una diffeomorphism $f: S^6\to S^6$ para que un diffeomorphism $F: S^6\times I\to S^6\times I$ como en el anterior no existe.

Para otros valores de $n\ge 7$, estos grupos están bien estudiados (Kervaire-Milnor et al), véase, por ejemplo, este wikipeda artículo.

Hay un bijection (por $n\ne 3$) entre $\Gamma^n$ y el grupo de $\Theta_{n+1}$ de lisa estructuras en $S^{n+1}$ (bajo conectado suma). Por ejemplo, el 27 de concordancia clases en $S^6$ corresponden a los 27 exóticas siete dimensiones en las esferas.