¿Cómo podría yo encontrar, en forma paramétrica, la solución a este (de primer orden, quasilinear) PDE?

Question

Consideremos la primera orden quasilinear) PDE $$u \frac{\partial u}{\partial x} + (y+1) \frac{\partial u}{\partial y} = u \hspace{10 mm} x \in \mathbb{R}, \hspace{4 mm} y \en \left( 0, \hspace{2 mm} \frac{1}{3} \right)$$ sujeto a $u(x,0) = -3x$$x \in \mathbb{R}$.

¿Cómo podría yo encontrar la solución a este PDE en forma paramétrica? He intentado hacerlo de la siguiente manera:

El carácter y la compatibilidad de las ecuaciones asociadas con este PDE son $$\frac{dx}{ds} = u \hspace{10 mm} \frac{dy}{ds} = y+1 \hspace{10 mm} \frac{du}{ds} = u$$ Podemos resolver directamente la segunda de estas ecuaciones como $$\frac{dy}{ds} = y+1 \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} y = y(s) = \frac{e^s}{c_1} - 1$$ y para la tercera de estas ecuaciones $$\frac{du}{ds} = u \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} u = u(s) = \frac{e^s}{c_2}$$ y luego, utilizando el anterior, para la primera de estas ecuaciones tenemos $$\frac{du}{ds} = u = \frac{e^s}{c_2} \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} x = x(s) = \frac{e^s}{c_2} + c_3$$

Sin embargo, estoy seguro de dónde ir desde aquí. Algún consejo para esto se agradece.

Answer 1

Siga el método en http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example:

$\dfrac{dy}{dt}=y+1$ , dejando $y(0)=0$, $y=e^t-1$

$\dfrac{du}{dt}=u$ , dejando $u(0)=u_0$, $u=u_0e^t=u_0(y+1)$

$\dfrac{dx}{dt}=u=u_0e^t$ ,$x=f(u_0)+u_0e^t=f\left(\dfrac{u}{y+1}\right)+u$ , es decir, $u=(y+1)F(x-u)$

$u(x,0)=-3x$ :

$F(4x)=-3x$

$F(x)=-\dfrac{3x}{4}$

$\therefore u=-\dfrac{3(y+1)(x-u)}{4}$

$-4u=3x(y+1)-3(y+1)u$

$(3y-1)u=3x(y+1)$

$u=\dfrac{3x(y+1)}{3y-1}$