Geodesically convexo barrios

Question

Deje $(M,g)$ ser un colector de Riemann. Como parte de un ejercicio, he probado los dos siguientes hechos:

1. Para cada $m\in M$ existe $\varepsilon >0$ y un vecindario $U$ $m$ tal que: para cada $x$ $y$ $U$ hay $v\in T_x M$ $||v||<\varepsilon$ que $\textrm{exp }(x,v)=y.$ me han demostrado que esta utilizando el teorema de la función inversa.

2. Si $\gamma$ es un no-radial geodésica en algunas de las geodésicas de balón $\textrm{exp}_m (B(\varepsilon))$ $r\circ \gamma$ alcanza sus valores máximos en los extremos (no se dispone de estrictos valores máximos). Para demostrar esto he utilizado la ecuación geodésica local.

Ahora tengo que mostrar como consecuencia de los anteriores hechos que cada punto tiene un geodesically convexa de barrio, es decir, que por cada par de puntos se encuentra a una longitud de minimizar geodésica de unirse a ellos, y que está contenida en el barrio durante todo el tiempo. Parece que debe ser fácil de resolver con respecto a los anteriores hechos, pero yo no soy capaz de demostrarlo...

Answer 1

De hecho, este es fácil, dada 1, 2.

Elija $\delta <\epsilon /2$, de modo que $B_\delta (m) \subset U$. Deje $x, y\in B_\delta (m)$. Entonces por 1$v\in T_xM$, de modo que $\exp_x(v) = y$. La geodésica $t\mapsto \exp_x(tv)$ tiene una longitud de $\|v\| <\epsilon$. Tenga en cuenta que este geodésica es dentro de $B_{\epsilon}(m)$ (o tiene una longitud de $\ge \epsilon$), por 2 tenemos que

$$ r(\gamma(t) \le \max\{r(\gamma(0)), r(\gamma(1))\}<\delta.$$

Por lo tanto $\gamma(t) \subset B_\delta(m)$ todos los $t$. Esto demuestra que $B_\delta(m)$ es geodesically convexo.