Que los conjuntos de base de 10 dígitos tienen la propiedad de que, para cada $n$, hay un $n$-número de dígitos compone de estos dígitos es divisible por $5^n$?

Question

Que conjuntos de cero en base 10 dígitos tienen la propiedad de que, para cada $n$, hay un $n$-número de dígitos compone de estos dígitos es divisible por $5^n$?

Esta es una extensión de Demostrar que para cualquier entero $n>0$, existe un número que consta de 1 y 2 sólo, que es divisible por $2^n$.

Aquí está mi respuesta:

Cualquier conjunto de dígitos que forma un completo conjunto de residuos modulo 5. En particular, cualquier 5 dígitos consecutivos.

Una prueba por inducción no es demasiado difícil.

Answer 1

Resultado parcial . . .

Reclamo:

Si $S \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ contiene un completo residuo sistema, mod $5$, para todos los enteros positivos $n$, hay un $n$-dígitos de número de $x$ tal que

• Todos los dígitos de $x$ son elementos de $S$.$\\[4pt]$
• $5^n{\mid}x$.

Prueba:

Suponga $S \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ contiene un completo residuo sistema, mod $5$.

Necesariamente $5 \in S$, por lo tanto la demanda tiene por $n=1$.

Proceder por inducción en $n$.

Fix $n \ge 1$, y deje $x$ $n$dígitos que todos los dígitos de $x$ son elementos de $S$, e $5^n{\mid}x$.

Deje $y ={\large{\frac{x}{5^n}}}$.

Elija $d \in S$ tal que $d(2^n) + y \equiv 0\;(\text{mod}\;5)$.

Deje $x'=d(10^n)+x$.

A continuación, $x'$ $(n+1)$- número de dígitos, cuyos dígitos son elementos de $S$. \begin{align*} \text{Also,}\;\;x'&=d(10^n)+x\\[4pt] &=(5^n)(d(2^n)+y)\\[4pt] \end{align*} que es un múltiplo de a $5^{n+1}$.

Por lo tanto, la inducción es completa.

Actualización:

Para $S \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, llame a $S$ clasificación si para cada entero positivo $n$, hay un $n$-dígitos de número de $x$ tal que

• Todos los dígitos de $x$ están en $S$.$\\[4pt]$
• $5^n{\mid}x$.

Como se muestra, si $S \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, e $S$ contiene un completo residuo sistema, mod $5$, $S$ es admisible.

Para $S \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, llame a $S$ un mínimo de excepción si

• $S$ es una clasificación de conjunto.$\\[4pt]$
• $S$ no contiene una completa residuo sistema, mod $5$.$\\[4pt]$
• Ningún subconjunto de $S$ es admisible.

Conjetura:

Hay exactamente $11$ mínimas excepciones, como las enumeradas a continuación: \begin{align*} &\{1, 2, 3, 5, 6, 7\}\\[4pt] &\{1, 2, 3, 5, 6, 8\}\\[4pt] &\{1, 2, 3, 5, 7, 8\}\\[4pt] &\{1, 2, 5, 6, 7, 8\}\\[4pt] &\{1, 2, 5, 6, 7, 9\}\\[4pt] &\{1, 3, 5, 6, 7, 8\}\\[4pt] &\{2, 3, 4, 5, 7, 9\}\\[4pt] &\{2, 3, 5, 6, 7, 8\}\\[4pt] &\{2, 3, 5, 7, 8, 9\}\\[4pt] &\{2, 4, 5, 6, 7, 9\}\\[4pt] &\{3, 4, 5, 7, 8, 9\}\\[4pt] \end{align*} Observaciones: Todos los de la anterior establece sobrevivido a las pruebas para $1 \le n \le 10000$.