Mostrar que un functor que conserva colimits tiene derecho adjoint

Question

En Moerdijk, la Clasificación de los espacios y clasificación de los topoi, página 22, nos encontramos con la siguiente declaración: un functor entre los topoi que conserva colimits debe tener un derecho adjoint, necesariamente único hasta el isomorfismo (MacLane, Categorías para el Trabajo Matemático, página 83).

A pesar de la referencia, yo en realidad no veo la motivación para ello. Alguien puede darme una sugerencia para una prueba (o una indicación sobre cómo la referencia está relacionado con el problema)? A mí me parece que el Teorema en CWM sólo cubre la "singularidad" de la parte...

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es falso en general, sin más hipótesis; ver adjunto functor teorema. La referencia a CWM, como dices, es sólo una referencia para la singularidad. Los diversos functor adjunto teoremas qué implica esto para la declaración de un functor entre Grothendieck topoi.

Answer 2

No sé referencia para primaria topoi, pero uno de presheaf topoi se pueden encontrar alrededor de las páginas 41-43 de MacLane-Moerdijk Poleas en la Geometría y la Lógica: que probar (Corolario 4) que un functor $A:\mathbb{C}\rightarrow\mathcal{E}$ donde $\mathcal{E}$ es cocomplete y $\mathbb{C}$ es pequeña se extiende a lo largo de la Yoneda incrustación $y$ a un único (hasta iso) $L_A:\widehat{\mathbb{C}}\rightarrow\mathcal{E}$ que conserva colimits, y un functor tiene derecho adjoint por la construcción (Teorema 2).

Si ahora a considerar algunos de los colimit preservar functor $F:\widehat{\mathbb{C}}\rightarrow\widehat{\mathbb{D}}$, la composición de la $A=Fy$ se debe extender en forma: por lo que se extiende a $L_A=F$, pero, a continuación, $F$ debe tener un derecho adjuntos.