¿Existe una variante del teorema de la función implícita que cubra una rama de una curva alrededor de un punto singular?

Question

Estoy buscando una variante del Teorema de la función implícita tal que

• garantiza la analiticidad de la función definida implícitamente, y
• funciona para una sola rama de una curva alrededor de un punto singular?

¿Qué tipo de variantes del IFT existen?

Espero que los antecedentes sean clarificadores.

El otoño pasado impartí un breve curso sobre las series y sus aplicaciones a los alumnos de segundo año. En la última serie de problemas de los deberes tenía una pregunta sobre el Folium de Descartes $$x^3+y^3=3xy.$$ Pedí a los alumnos que encontraran los dos primeros términos no nulos de la serie de Taylor de la rama $y=y(x)$ que obviamente tiene un mínimo local en $x=0$ (mostrado en rojo grueso en la imagen de abajo).

Mis objetivos con este ejercicio eran modestos. Básicamente quería que los alumnos hicieran un trabajo mínimo con la aritmética de las series formales de potencias. Esta vez no les pregunté nada sobre la convergencia. No habíamos cubierto ninguna herramienta para ello (estaba previsto que hicieran un primer curso de análisis complejo más adelante).

Mi pensamiento burdo. El folio es una curva algebraica de género cero, y tiene la parametrización racional (proveniente de inflar la singularidad con $y=tx$ ) $$x=\frac{3t}{1+t^3},\qquad y=\frac{3t^2}{1+t^3}.$$ La rama de interés se obtiene restringiendo $t$ a un vecindario adecuado de $t=0$ (al producir esa imagen utilicé $t\in[-1/2,1/2]$ ). Cuando se ven como variables complejas, podemos invertir la $x=x(t)$ a una función $t=t(x)$ que es holomorfo en una vecindad de $x=0$ . Por lo tanto, está representada por una serie de Taylor convergente. En consecuencia, también lo es $y=tx$ .

Pero.

• Esto depende en gran medida de nuestra capacidad para hacer estallar la singularidad que nos permita aislar la rama elegida. Soy demasiado ignorante para saberlo con seguridad, pero sospecho que podemos necesitar algunas estructuras de la geometría algebraica para poder incluso definir una rama alrededor del punto singular de manera que se pueda aplicar el IFT.
• Mi solución (si se puede llamar así) también dependía del género. Tener una parametrización racional lo hacía más fácil. Conozco la existencia de parametrizaciones analíticas de algunas curvas (como el parámetro formal de ley de grupo de una curva elíptica), pero ignoro los resultados más generales.

Así que la pregunta principal puede haber evolucionado a. (no dude en comentar sus variantes favoritas)

• ¿Necesitamos que la singularidad provenga de una ecuación algebraica para poder discutir las ramas, y estudiar la analiticidad de una rama individual?

• ¿Existe una variante del IFT que garantice la analiticidad de una sola rama?

Crédito extra para los estudiantes. (por si algún alumno lee mi pregunta hasta aquí, y quiere trabajar en algo relacionado)

Demuestre que en una solución $y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ a la ecuación $x^3+y^3=3xy$ sólo uno de cada tres términos puede ser distinto de cero. Más concretamente, demuestre que si $a_n\neq0$ entonces $n\equiv2\pmod3$ .

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Edición: Pensando más en este tema (particularmente a la luz de la respuesta de Cactus314) me di cuenta de que el tipo de singularidad algebraica hace una gran diferencia.

• Cuando trabajamos en torno a un punto múltiple, con tangentes distintas para cada rama, podemos, como en el caso del Folium, trabajar con cualquier rama siempre que la tangente correspondiente no sea vertical.
• Pero, cuando tenemos una cúspide las cosas pueden ir mal. Consideremos la cúspide del libro de texto que la curva $y^2=x^3$ tiene en el origen. Ninguna cantidad de resolución de la singularidad va a hacer que $y=x^{3/2}$ o $y=-x^{3/2}$ ¡analítica!
• Así que mi suposición actualizada es que para que esto funcione necesitamos poder aislar la rama de tal manera que $x-x_0$ se convierte en un parámetro local a lo largo de esa rama.
• ¿Podemos formularlo de forma no algebraica?

Answer 1

Reescribamos la ecuación como un conjunto de niveles de un polinomio multivariado $$p(x,y) = x^3+y^3-3xy=0$$

A continuación, tome el gradiente $$\cases{\frac{\partial p}{\partial x}=3x^2-3y\\\frac{\partial p}{\partial y}=3y^2-3x}$$

Podemos confirmar que en $(0,0)$ ambos son cero. El estudiante curioso probablemente puede encontrar que esto es único para este punto a lo largo de la curva. Así que si imaginamos que las derivadas parciales suelen darnos una pista de la expansión alrededor de un conjunto de niveles, eso no nos va a ayudar en este caso. Pero, ¿por qué detener la investigación en las primeras derivadas parciales y los gradientes? Podemos comprobarlo: $$\cases{\frac{\partial p}{\partial xy}=-3\\\frac{\partial p}{\partial y^2}=6y=0}$$

Lo que por simetría nos da un Hessian de:

$$\left[\begin{array}{rr}0&-3\\-3&0\end{array}\right]$$

Podemos comprobar que la descomposición de valores propios es:

$$H=VDV^{-1} : D = \left[\begin{array}{cc}-3&0\\0&3\end{array}\right], V = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right]$$

Esto nos da información sobre la dependencia local de los términos de segundo orden (en cierto sentido).

Gráfico del mapa de la familia exponencial de la distancia al conjunto de niveles y el polinomio $y=f(x)=\frac{x^2}{3}$ . Hmm, ¿podrían esas 3:s en el Hessian ser una coincidencia o cómo podemos explicar esto?

Answer 2

Creo que tienes que elegir si quieres el comportamiento local de la curva parametrizada (una circunferencia) o estudiar el comportamiento de autointersección de tu curva plana incrustada en una copia de $\mathbb{C}$ (o la elección del espacio ambiental).

Wikipedia ofrece dos parametrizaciones diferentes:

• coordenadas polares $\displaystyle r = \frac{3a \, \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta} $ y expandirse alrededor de $\theta = 0, \frac{\pi}{2}$ .

• funciones racionales $\displaystyle x = \frac{3at}{1 + t^3} $ y $\displaystyle y = \frac{3at^2}{1 + t^3} $ y expandirse alrededor de $t = $ .

Los puntos singulares de las curvas planas se han estudiado durante mucho tiempo, en lenguaje clásico (mediante ecuaciones) y en libros sobre la teoría de las curvas algebraicas. Sin embargo... el mapeo entre el lenguaje moderno y el clásico es deficiente en mi opinión.

• Hilton, Harold (1920). "Capítulo II: Puntos singulares". Curvas algebraicas planas . Oxford.

Aquí comienza a esbozar los diferentes tipos de puntos singulares que pueden darse. Un problema es que una vez que se tienen puntos singulares de cualquier tipo éstos ya no son variedades, son esquemas . Aunque este caso tan básico se ha estudiado desde Isaac Newton.

A menudo, las discusiones elementales modernas de geometría algebraica evitan por completo las discusiones sobre los puntos singulares. Supongo que para que la discusión sea fluida descartan todas las partes interesantes.

• Nigel Hitchin Curvas algebraicas (Oxford, 2009)

• Frances Kirwan Curvas algebraicas complejas

Hace geometría algérica sobre $\mathbb{C}$ , habla de la serie de Puiseux (para manejar ambas ramas) y aboga por la resolución de las singularidades.