En Principles of Mathematical Analysis de Walter Rudin define conjunto abierto como: "E es abierto si cada punto de E es un punto interior de E". Así que esto se puede traducir en lógica como " Si todo punto de E es un punto interior de E, entonces E está abierto".
Pero ¿significa esto que " Si E está abierto, entonces ¿todo punto de E es un punto interior de E?". ¿Cómo se puede estar seguro, al encontrar estas definiciones, de que también se aplica la inversa?
Las definiciones deben tratarse siempre como "si y sólo si". Así, cuando el texto diga algo como " $E$ est abra si cada punto de $E$ es un punto interior de $E$ "(supongo que se puso en cursiva para indicar que la frase presenta una definición), léase:
$E$ está abierto $\iff E$ cada punto de $E$ es un punto interior de $E$ .
Además, siempre que haya una afirmación "si y sólo si" sobre un objeto, esta afirmación puede utilizarse como definición de ese objeto . Por ejemplo, aquí hay dos posibles definiciones (equivalentes) que un autor podría elegir para "conjunto infinito" (seguramente hay muchas otras):
$\bullet \quad$ Llamamos conjunto $X$ infinito siempre que haya una inyección $\mathbb{N} \hookrightarrow X$ .
$\bullet \quad$ Llamamos conjunto $X$ infinito siempre que exista un subconjunto propio no vacío $A \subsetneq X$ tal que existe una biyección entre $X$ y $X \setminus A$ .
Estas definiciones equivalentes son una herramienta que los autores pueden utilizar para motivar y, en última instancia, presentar el mismo tema desde diferentes perspectivas.
Tal vez, o tal vez no, hay que señalar que si usted tiene que definiciones equivalentes entonces uno debe demostrar la condiciones lo son si y sólo si. En otras palabras "Teorema: existe una inyección de N a X si y sólo si siempre que existe un subconjunto propio A existe una biyección entre x y X \A Prueba: bla bla bla" entonces "Definición: Si X es un conjunto donde se cumplen las condiciones del teorema entonces llamamos a dicho conjunto "infinito"". Tal vez.
Para los lectores que no se hayan topado con ellas antes, quizá merezca la pena señalar que, mientras que las definiciones de un conjunto infinito de tu ejemplo son, en efecto, equivalentes en la teoría de conjuntos ZFC, hoy en día bastante estándar, no son necesariamente equivalentes en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección.
Una definición, por su propia naturaleza, es siempre una afirmación "si y sólo si". Somos identificar que "ser abierto" y "que cada punto sea un punto interior" son exactamente lo mismo.
Una definición "Se define que algo es X si Y" no es realmente un enunciado lógico condicional en el algo es cierto porque es una consecuencia-- es más bien un enunciado de que algo es cierto porque así está etiquetado para serlo.
No podemos afirmar como teorema "Si un número es divisible por una potencia par pero no impar de 7 entonces es un schlunknubt" si un "schlunknubt" no está definido. Y si esa es nuestra definición de "schlunknubt" entonces no podemos afirmar "pero podría no ser el caso que todos los schlunknubts sean divisibles por una potencia par pero no impar de 7; debemos demostrarlo ahora" porque ... si eso no es el caso entonces que diablos est ¿un schlunknubt después de todo? En realidad no se ha definido.
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Sí. Las definiciones son... definiciones. Así que son declaraciones si y sólo si. Si un GLIMP es por definición una cosa que HIMP entonces no es posible que otra cosa HIMP porque por definición, eso es lo que un GLIMP es. Una cosa que HIMP.
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O dicho de otra manera si definimos si un conjunto abierto no tener cada punto un punto interior entonces... ¿qué hace open media ? No podemos decir "Si un animal tiene crías vivas, entonces es un mamífero; esa es la definición" y luego decir "pero no todos los mamíferos tienen crías vivas" porque entonces... ¿cuál era la definición de "mamífero" si era no era que tienen crías vivas???
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Relacionados: math.stackexchange.com/questions/566565/
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@fleablood Un conjunto puede contener todos sus puntos límites (que llamamos cerrados), ninguno de ellos (abiertos) o algunos de ellos. "Abierto" es sólo una palabra; podría haberse utilizado para esta última situación.
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@Kaz Um.... ¿y tu punto es?
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Ver también math.stackexchange.com/questions/39022/ math.stackexchange.com/questions/169158/ math.stackexchange.com/questions/607080/ Realmente no hay nada más que decir sobre este tema.