Es cierto que la
$$X^5=5 Y (Y+1)+1$$
no tiene no trivial solución (a excepción de la $X=1,Y=-1$$X=1,Y=0$) en números enteros. Traté de resolverlo como una ecuación de segundo grado en $Y$. Conseguí que la $$\sqrt{5} \sqrt{4 X^5+1}$$ debe ser entero. Pero ni idea de cómo continuar a partir de aquí.
Luego he intentado con el Teorema de Fermat $X^5\equiv X \pmod 5$ con la esperanza de conseguir alguna contradicción, pero de nuevo nada útil.
EDITADO: Sólo una observación de la @stuart stevenson respuesta: $X=10k+1$
Así tenemos las siguientes soluciones:
$$Y\to \frac{1}{2} \left(\pm\sqrt{80000 k^5+40000 k^4+8000 k^3+800 k^2+40 k+1}-1\right)$$
O el $$80000 k^5+40000 k^4+8000 k^3+800 k^2+40 k+1 = L^2 = \\ 1 + 40 k (1 + 20 k (1 + 10 k (1 + 5 k (1 + 2 k))))$$
Esto se puede generalizar como la repetición de un producto:
$$P_0(k)=2k+1 \\ P_n(k)=1+2^{n-1} 5kP_{n-1}(k)$$
Y suponemos que el $$P_4(k)\ne L^2$$ para cualquier $k$.
EDITADO:
Quiero suponer que el $$X^p=p Y (Y+1)+1$$
no tiene no trivial solución para cualquier prime $p>2$.
EDITADO:
Sólo algunos de observación. Parece que hay pocos $k$ para que el $$X^p=k Y (Y+1)+1$$
tiene soluciones. Por ejemplo, para la $p=5$ $p=7$ $k$- s para el cual existe una solución se $-1$$4$. Y parece que no tiene solución, para otros $k$-s en el rango de $|k|<100$.
Para el $p=3$ $k$- s, para los que hay soluciones se $\{-27, -21, -14, -7, -3, -1, 0, 1, 4, 6, 13, 27, 31\}$ para el rango de $|k|<50$ y parece de otro $k$-s en este rango no hay ninguna solución
