¿Por qué una silla de permanecer en una silla al cambio de coordenadas?

Question

Vi la respuesta a esta pregunta sobre la naturaleza de las sillas de montar, y contiene el razonamiento:

Tal vez basta con señalar que las sillas deben permanecer sillas de montar, incluso cuando hacemos un cambio de coordenadas. Por ejemplo, tenga en cuenta que $f(x,y)=x^2+6xy+y^2$ puede ser reescrita en la forma $f(x,y)=2(x+y)^2−(x−y)^2$. A partir de ello, es de esperar que f tiene una silla de montar a cero si y sólo si g(x,y)=$2x^2−y^2$ tiene uno así.

Pero, ¿por qué la silla de montar (o cualquier punto crítico) siguen siendo exactamente el mismo tipo de punto crítico, incluso después del cambio de coordenadas? No es del todo evidente para mí que debe ser así.

Answer 1

Su pregunta es, al menos parcialmente, más bien filosófica. Creo que estás pensando demasiado en el álgebra y demasiado poco acerca de la geometría.

El objeto matemático que están tratando de razonar acerca de es geométrica, Al ver una imagen como esta de http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html

usted puede reconocer el punto de silla mirando a la geometría. (Eso es esencialmente lo que @TedShifrin 's respuesta dice.) Usted no necesita un sistema de coordenadas o una ecuación.

De hecho, cada punto de esta superficie es un punto de silla en el sentido geométrico. Si usted se imagina que en el sistema de coordenadas sugerido por las líneas en la superficie, el punto medio es donde el plano tangente es horizontal, la pendiente es cero, pero usted no tiene un máximo local o un mínimo. Si usted hace girar el sistema de coordenadas y mirarlo desde otro ángulo que punto va a ser un punto de silla, como todos los demás.

Si desea razón acerca de esta figura de manera algebraica, a continuación, seleccione un sistema de coordenadas y encontrar la función que describe la superficie en ese sistema. La elección de coordenadas no determina el objeto. Pero en diferentes sistemas de coordenadas del objeto será descrito con diferentes funciones. A veces, algunas de esas funciones son más fáciles de trabajar que otros.

Answer 2

Usted ya tiene un álgebra lineal contestar, así que no voy a escribir otro.

La geométrica, la respuesta es que puede detectar un punto de silla y observó que la superficie está negativamente barra curva en la que hay (curva hacia adentro en una dirección y hacia el exterior en la otra) ... y que la geometría persiste cuando hacemos un cambio lineal de coordenadas.

Answer 3

Esto puede o puede no ser útil para usted, dependiendo de sus antecedentes, pero espero que.

Un punto de $(x,y)$ es un punto de silla de $f$ si $\nabla f(x,y) = (0,0)$ y la matriz Hessiana de $f$ $(x,y)$ positivos y negativos de los autovalores. Bajo un cambio de coordenadas, la (simétrica) de la matriz Hessiana es transformada por la congruencia de transformación (es decir, si el estado de Hesse se $H$ será transformado a $P^THP$ para algunos nonsingular matriz $P$) que conserva el número de positivos y negativos de los autovalores de la Arpillera por Sylvester Ley de la Inercia.