¿Es cierto? $a+b\mid a^4+b^4$ entonces $a+b\mid a^2+b^2$ ?
De alguna manera no puedo encontrar un contraejemplo ni demostrarlo. Intento escribirlo $a=gx$ y $b=gy$ donde $g=\gcd(a,b)$ pero no ayudó. Parece que no hay $a\ne b$ tal que $a+b\mid a^4+b^4$ . Por supuesto, si probamos esta afirmación más fuerte ya estamos hechos. ¿Alguna idea?
Bueno,
\begin{align} && a+b &\mid a^4 + b^4 \\ &\iff & a+b &\mid a^4 + b^4 - (a+b)^4 + 4ab(a+b)^2 \\ &\iff & a+b &\mid 2a^2b^2 \\ &\iff & a+b &\mid ab\bigl((a+b)^2 - (a^2+b^2)\bigr) \\ &\iff & a+b &\mid ab(a^2+b^2)\, \end{align}
por lo que para el coprimo $a,b$ se deduce que $a+b \mid a^4+b^4 \iff a+b \mid a^2+b^2$ .
Escribir $a = gx,\, b = gy$ con $g = \gcd(a,b)$ vemos que $a+b \mid a^4 + b^4$ si y sólo si $x+y \mid g^3(x^2+y^2)$ y $a+b \mid a^2+b^2$ si y sólo si $x+y \mid g(x^2+y^2)$ . Así que si encontramos coprime $x,y$ y un $g$ tal que $x+y \nmid g(x^2+y^2)$ pero $x+y \mid g^3(x^2+y^2)$ tenemos un contraejemplo.
Elección de $x = 1,\, y = 7$ y $g = 2$ proporciona uno, $1+7 = 8 \nmid 100 = 2(1+7^2)$ pero $8 \mid 400$ . Así que
$$(2+14) \mid 2^4 + 14^4\qquad\text{and}\qquad 2+14 \nmid 2^2 + 14^2.$$
Tenemos que $$a^4+b^4=(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)+2b^4$$ por lo que si $a+b$ es un factor de $a^4+b^4$ también es un factor de $2b^4$ y (por simetría) $2a^4$
Si el mayor factor común de $a$ y $b$ es $y$ para que $a=py$ y $b=qy$ encontramos que $(p+q)y$ es un factor de $2q^4y^4$ . Ahora $p+q$ no puede tener ningún factor en común con $q$ por construcción, así que $p+q|2y^4$ . Encontramos una solución fácil estableciendo $p+q=y$ .
Tal vez quieras pensar en construir un contraejemplo antes de ir más allá, apretando un poco las cosas.
Si queremos estar ajustados a una restricción podríamos intentar $y^4=\frac {p+q}2$ . Con $y=2$ esto daría $p+q=32$ . Entonces $a=2p$ y $b=2q$ y $a^4+b^4=16 (p^4+q^4)$ y esto es divisible por $p+q=32$ porque $p$ y $q$ tienen la misma paridad. Pero ahora pon $p=1, q=31$ con $a=2, b=62$ y $a^2+b^2=4+3844=3848$ no es divisible por $32$ .
Un poco a mano, pero suficiente para conseguir un contraejemplo.
Es fácil de verificar $a+b|a^{2k} - b^{2k}$ (al señalar $\frac {a^m - b^m}{a-b} = a^{m-1}+ a^{m-2}b+ ... + ab^{m-2} + b^{m-1}$ y sustituyendo $b$ con $-b$ y observando $(-b)^{2k} = b^{2k}$ .)
$a + b|a^4 - b^4$ y $a+b|a^2 - b^2$
por lo que si $a+b|a^4 + b^4$ entonces $a+b|(a^4+b^4)\pm (a^4 - b^4)$ así que $a+b|2a^4$ y $a+b|2b^4$ .
Si $a+b|a^2 + b^2$ entonces por el mismo argumento $a+b|2a^2$ y $a+b|2b^2$
Así que para un contraejemplo necesitamos $a+b|2a^4,2b^4$ pero no $a+b|2a^2,2b^2$ .
Una forma de hacerlo sería que hubiera un factor común, $p$ de $a$ y $b$ con $a+b|p^4$ pero $p^4$ no dividir $a$ o $b$ .
Eso es bastante fácil de encontrar una vez que entendemos lo que estamos buscando.
Ejemplo: Sea $p=3$ queremos $a+b|3^4=81$ y $3$ pero ningún poder superior divide $a$ y $b$ . Para simplificar, dejemos que $a+b = 81$ y $a=6$ y $b=75$ .
Que debe hacerlo y de hecho:
$6^4 + 75^4 = 3^4(2^4 + 25^4) = (6+75)(2^4 + 25^4)$ mientras que
$6^2 + 75^2 = 3^2(2^2 + 25^2)=3^2(4 + 625)=3^2*629$ . Y $3\not \mid 629$ así que $3^4|3^2*629$ .
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Hay muchos $a\neq b$ tal que $a+b\mid a^4+b^4$ . Ejemplo: $(a,b)=(5,20)$ .
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Los formularios $a=p(p+q), b=q(p+q)$ tienen $a+b=(p+q)^2$ y esto divide claramente $a^4+b^4$ .
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Este es uno de esos problemas en los que es útil que el ordenador intente generar algunos contraejemplos. En este caso genera muchos, lo que resuelve la conjetura de inmediato, y entonces puedes mirar los ejemplos generados para ver si hay algo sugerente en ellos. En este caso se puede notar de inmediato que ninguno de los pares de contraejemplos es relativamente primo.