$\dfrac{x^2+y^2}{x+y}$ es un divisor de $1978$

Question

Dos distinto de cero enteros $x,y$ (no necesariamente positiva) son tales que $x+y$ es un divisor de a $x^2+y^2$, y el cociente $\dfrac{x^2+y^2}{x+y}$ es un divisor de a $1978$. Demostrar que $x = y$.

Deje $A = \dfrac{x^2+y^2}{x+y}$ donde $A$ es un divisor entero de $1978$. A continuación, $A \mid x^2+y^2$ e si $p$ es un divisor primo de $A$ debemos tener $x^2+y^2 \equiv 0 \pmod{p}$.

Primero vamos a tratar con el caso de $x,y \equiv 0 \pmod{q}$. De lo contrario, $x,y \not \equiv 0 \pmod{q}$ donde $q \equiv 3 \pmod{4}$ e es un divisor primo de $A$.

No he encontrado una manera fácil de tratar con el caso de que $x,y \equiv 0 \pmod{q}$. Hay una manera más fácil de solucionar esto?

Answer 1

Si un primer $p$ divide $x^2+y^2$ $x^2\equiv -y^2$ modulo $p$ y por lo tanto, si $p$ no divide $x$ $y$ nos encontramos con que $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$. Esto no puede suceder a menos que $p$ es de la forma $4k+1$.

Primero vamos a suponer que $x,y$ son coprime. Si no lo están, entonces basta con dividir por su $gcd$ y encontrar un poco de $x',y'$ cuales son coprime y sigue respondiendo a la hipótesis.

Ahora usted sabe que $\frac{x^2+y^2}{x+y}$ divide $2\cdot 23\cdot 43$. Si $23$ o $43$ divide $x^2+y^2$, entonces el bot $x$ $y$ ha $23$ o $43$ como un factor, lo que contradice el hecho de que son coprime. Esto nos deja con $x^2+y^2=2(x+y)$ que es equivalente a $(x-1)^2+(y-1)^2=2$. Desde aquí podemos ver que $x=y=2$.

Hay otro caso:$x^2+y^2 = x+y$, lo que implica $(2x-1)^2+(2y-1)^2 = 2$. Esto implica $x=y=1$.

Answer 2

Para la ecuación.

$$A=\frac{x^2+y^2}{x+y}$$

¿Sería mejor escribir una decisión?

$$x=(p-s)(k-s)$$

$$y=(p-s)(p-k)$$

$$A=p^2+s^2+2k(k-p-s)$$