Tratando de sacar el paquete de línea tautológica ($\subseteq \mathbb{CP}^1\times \mathbb{C}^2$)

Question

Con el fin de aprender acerca de vector haces, me gustaría llamar la tautológica vector paquete sobre el complejo proyectiva línea

$$ E = \{(x,v) \in \mathbb{CP}^1 \times \mathbb{C}^2 : v \in x \} .$$

La identificación de los complejos proyectiva línea con la esfera de Riemann, $\mathbb{CP}^1 \cong S^2$, tengo la esperanza de que podría ser posible visualizar este paquete uniendo pequeños aviones a cada punto de la esfera, de manera similar a cómo se puede visualizar la tangente paquete de esfera.

En otras palabras, estoy buscando una incrustación $E \hookrightarrow S^2 \times \mathbb{R}^3$ a un trivial paquete. (Obviamente, $E$ tiene que ser visto como una de 2 dimensiones reales del vector paquete para que esto tenga sentido.) Soy consciente de que tal cosa no podría existir, en cuyo caso me gustaría saber por qué.

Answer 1

Me afirman que no hay ningún paquete de la incrustación de la realification de la tautológica bundle $\mathcal{O}(-1)$ en el trivial (real) de paquete $S^2 \times \mathbb{R}^3$. Supongamos que hay; entonces podríamos tomar el complemento ortogonal $N$, y nos gustaría obtener una descomposición $$ N \oplus \mathcal{O}(-1)_{\mathbb{R}} = S^2 \times \mathbb{R}^3$$ donde $N$ es una línea real de paquete. Pero la verdadera línea de paquetes en cualquier compacto CW complejo de $X$ son clasificados por la primera clase de Chern, que vive en $H^1(X, \mathbb{Z}/2)$ (desde el infinito 1-Grassmannian es una $K(\mathbb{Z}/2, 1)$). Sin embargo, $H^1(S^2, \mathbb{Z}/2)=0$, y por lo $N$ es trivial.

De ello se sigue que si esta inclusión existido, a continuación, $\mathcal{O}(-1)_{\mathbb{R}}$ sería estable trivial. Esta es, sin embargo, no es el caso. Estable trivialty implicaría que el Stiefel-Whitney clases eran triviales, como la fórmula del producto para ellos muestra. Sin embargo, sabemos que la parte superior de Chern de clase en $H^2(\mathbb{CP}^1, \mathbb{Z})$ genera el grupo, y también que (la Proposición 3.8 en Hatcher Vector Haces y la K-teoría, disponible aquí), implica que la parte superior Stiefel-Whitney clase es la imagen de la parte superior de Chern de la clase. Pero la imagen de un generador en $H^2(\mathbb{CP}^1, \mathbb{Z})$ $H^2(S^2, \mathbb{Z}/2)$ es distinto de cero.

Answer 2

Creo que se puede hacer mucho mejor que al visualizar la fibración de Hopf $S^{3} \to S^{2}$, que puede definirse por restringir el haz de línea tautológica a $S^{3} \subset \mathbb{C}^{2}$ (en otras palabras, la fibra en cada punto de $x \in \mathbb{CP}^{1}$ es el círculo de puntos de longitud $1$ $x$). La mayoría de las imágenes se obtiene al proyectar estereográficamente $S^{3}\smallsetminus \{N\}$ $\mathbb{R}^{3}$. Buscalo en google para la fibración de Hopf y usted obtendrá un montón de buenas fotos.

Answer 3

No creo que esto es posible. Pero puedes intentar hacer esto en $\mathbb{S}^{2}\times \mathbb{R}^{4}$. La razón más básica imposible es el ' complejo ' en el paquete tautológico hizo su rígido que se convierten en imposible poner en $\mathbb{S}^{3}$ (que es demasiado apretado). Dudo que si uno necesita trabajar con las clases de la característica y hacia atrás, se siente matar a un mosquito con un martillo grande.