La característica de Euler de $\mathbf RP^2$ es una fracción.

Question

Problema 22 en la Sección 2.2 en Hatcher Topología Algebraica lee

Para $X$ de un número finito de CW complejo y $p:\tilde X\to X$ $n$sábana que cubre el espacio, muestran que $\chi(\tilde X)=n\chi(X)$.

Aquí $\chi$ denota la característica de Euler

Ahora tenemos un $2$sábana que cubre $p:S^2\to \mathbf RP^2$. Aplicar el resultado del problema anterior, obtenemos $\chi(S^2)=2\chi(\mathbf RP^2)$. Ahora $S^2$ puede ser dada una estructura de CW tener un $0$-célula y un $2$-célula. Por lo tanto $\chi(S^2)=3$. Esto significa que $\chi(\mathbf RP^2)=3/2$.

Sé que debo de estar haciendo algo estúpido. Pero me han pegado en esto. Por favor alguien puede señalar mi error. Gracias.

Answer 1

Para cerrar la pregunta, me deja escribir mi comentario como respuesta. $\chi(S^2)=2$, no $3$ como se puede ver al computar la suma alterna de los números de Betti.

Alternativomente, uno puede considerar cualquiera de las dos habituales de la célula descomposiciones de la esfera - o el "un $0$-célula, un $2$-" o "un $0$-celular, un $1$ células, las células dos $2$" Descripción de la esfera - para ver que $\chi(S^2) = 1-0+1 = 1-1+2 = 2$.