Simulaciones acotadas entre las distribuciones de Bernoulli

Question

Deje $B(p)$ ser la de Bernoulli distribución asociada a la probabilidad de $p$. Deje $(→)$ ser la relación tal que $(p→q)$ fib puede generar $B(q)$ $B(p)$ con un acotado número de empates. (Esto implica que el rechazo de muestreo no es relevante aquí.)

Obviamente $p→1-p$ desde sólo tienes que cambiar el bit de salida. De hecho, creo que la relación se caracteriza por:

$$p→\sum_{i=0}^{n}a_ip^i(1-p)^{n-i}$$

para cualquier entero secuencia $(a_i)_{i≤n}$ tal que $a_i≤\binom{n}{i}$. Esto se hace mediante el muestreo de $n$ veces y, a continuación, elegir el que las palabras $w$ $\{0,1\}^n$ será asignado a $0$ y que será asignado a $1$. La probabilidad de $w$$P(w)=p^{|w|_1}(1-p)^{|w|_0}$. El obligado en $a_i$ proviene del hecho de que para cada una de las $i$ no es exactamente $\binom{n}{i}$ palabras $w$ con $i$ $1$'s y $(n-i)$ $0$'s.

Mis preguntas son:

(1) ¿hay una manera más fácil la caracterización de esta relación?

(2) ¿existe una caracterización de $D=\{p ∣ p→\frac12\}$?

Por ahora parece obvio que $\frac13∉D$ y, más generalmente, que sólo contiene sólo diádica números. Lo que es más sorprendente para mí es que parece que $\frac14∉D$.

Answer 1

Hecho: El conjunto de $D$ es en la mayoría de los contables.

Prueba: El mapa de $(n,a_0,a_1,\ldots,a_n)\mapsto p$ es surjective.

Hecho: El conjunto de $D$ contiene los números irracionales.

Prueba: el Uso de $a_n=1$ $a_i=0$ por cada $i\leqslant n-1$. Por lo tanto $p$ tal que $p^n=1/2$$D$.

Hecho: Para cada entero $k\geqslant2$, $p=1/(k+1)$ no es en $D$.

Prueba: de lo Contrario, existe $n\geqslant0$ y algunos admisible enteros $(a_i)$ tal que $$ 2\sum\limits_{i=0}^na_ik^{n-i}=(k+1)^n. $$ En particular, $2a_n=1\pmod{k}$ $a_n=0$ o $a_n=1$. Ambas opciones son absurdas si $k\geqslant2$.

Hecho: La única números racionales en $D$ $0$, $1$ y $1/2$.

Prueba: Supongamos $p=u/v$ denotar un número racional en $D$ con $p\ne0$, $p\ne1$, $p\ne1/2$, y $u$ $v$ relativamente primos. Suponer sin pérdida de generalidad que $u\geqslant2$. Entonces, existe $n\geqslant0$ y algunos admisible enteros $(a_i)$ tal que $$ 2\sum\limits_{i=0}^na_iu^i(v-u)^{n-i}=v^n. $$ En particular, $2a_0(v-u)^n=v^n\pmod{u}$. Desde $(v-u)^n=v^n\pmod{u}$ $v$ es invertible modulo $u$, $2a_0=1\pmod{u}$. Desde $a_0=0$ o $a_0=1$, e $u\geqslant2$, esto es absurdo.

Para resumir: El conjunto $D$ contiene $0$, $1$, $1/2$, $1/\sqrt[n]{2}$ para cada $n\geqslant2$, y otros números irracionales, en la mayoría de los countably muchos.