Cardinalidad de la intersección de conjuntos

Question

Considera el siguiente problema: encontrar $n(A \cap B)$ si $n(A)=10$, $n(B)=13$ y $n(A \cup B) = 15.

Sé que si quiero encontrar la unión uso la fórmula de Número Cardinal:

$$n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$$

Pero ¿cómo lo hago al revés: para encontrar $n(A\cap B)$?

¿Sería $n(A\cap B) = n(A) + n(B) - n(A\cup B)$?

Answer 1

Sabemos que: $n(A)=10$, $n(B)=13$ y $n(A \cup B) = 15$.

Usando la fórmula del Número Cardinal:

$$\underbrace{n(A\cup B)}_{15} = \underbrace{n(A)}_{10} + \underbrace{n(B)}_{13} - n(A\cap B)\tag{1}$$

Por lo tanto, podemos escribir lo equivalente a $(1)$: $$n(A\cap B) = \underbrace{n(A)}_{10} + \underbrace{n(B)}_{13} - \underbrace{n(A\cup B)}_{15}\tag{2}$$

$$\text{Entonces, dado lo que sabemos}:\;\; n(A\cap B) = 10 + 13 - 15 = 8$$

Answer 2

Sí... $n(A\cap B) = n(A) + n(B) - n(A\cup B)$ es el camino a seguir.

$n(A\cap B) = 8$ según esto.

Un pequeño diagrama de Venn para visualizar la fórmula:

Answer 3

Sí. La razón por la que esto funciona radica en que "n" consiste en una función que asigna conjuntos a números cardinales (que también son conjuntos en la teoría de conjuntos, pero eso no importa aquí). Así, para n(A), n(B) y así sucesivamente, podemos tratar n(A) como cualquier otro tipo de número, y por lo tanto usar variables, y escribir cosas como n(A)=x, n(B)=y, n(A∪B)=z y así sucesivamente. De esta manera, podemos demostrar que n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∪B) se deduce de n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) utilizando las propiedades básicas del álgebra ordinaria.