Contención de pequeños subgrupos de sylow P en sus Normalizers

Question

Estoy un poco confundido sobre cómo ir sobre este problema:

Sea G un grupo finito y $p$ el primer pequeño dividiendo su orden. Asumir $P$ es un subgrupo de $p$-Sylow que es cíclico. Mostrar $P$ se encuentra en el centro de su estabilizador.

Answer 1

Sea $N$ el normalizador de $P$ y que $N$ ley en $P$ por conjugación; Esto induce un homomorfismo h $N\to\mathrm{Aut}(P)$; $P$ es abelian, está contenida en el núcleo de ese mapa, por lo que tenemos que $N/P$ mapas en $\mathrm{Aut}(P)$. Pero ¿cuál es el orden del grupo del automorphism de un grupo cíclico de orden $p^n$, y cuál es el orden de $N/P$? ¿Decirte sobre la acción de $N$ $P$?