Deje $ABCD$ ser un cuadrilátero convexo y deje $O$ ser el punto de intersección de sus las diagonales. Demostrar que si el perímetro de $\triangle ABO$,$\triangle BCO$,$\triangle CDO$ y $\triangle DAO$ son iguales, a continuación, $ABCD$ es un rombo.
la primera vez que vi este problema en Estrategias de Resolución de problemas del libro de Arthur Engel en verano(se puede ver esta solución de este libro en la página 126).este problema fue en el principio extremal capítulo.Yo quería encontrar otra manera de demostrarlo, pero yo no era capaz de hacer nada útil.
Hice algunas investigaciones y fui capaz de encontrar que este problema es De MOSP de 2001. Pero yo no era capaz de encontrar cualquier otra solución que no sea el que yo vi en Arthur Engel libro. Cualquier ayuda o sugerencia en demostrar este problema en otras formas son apreciados.
Respuesta
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Calvin Lin
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Vemos que el $ OB + BA = OD + DA $, por lo tanto, $B, D$ mentira en una elipse cuyos focos es $A, O$.
Del mismo modo, desde $OB + BC = OD + DC $, por lo tanto, $B, D$ mentira en una elipse cuyos focos es $ O, C $.
Leve argumento esa elipse con focos $A,O$ y $O,C$, $AOC$ una línea recta sólo puede se intersectan en los puntos 2. Además, por simetría, estos 2 puntos son simétricos alrededor de la línea $AOC$. Así $BD \perp AC$.
De esto, se sigue que $ AB = BC = CD = DA$ de los requisitos de perímetro, por lo tanto tenemos un rombo.
