Demostrar que dicha inversa es única

Question

Dado $z$ es un número complejo distinto de cero, definimos un nuevo número complejo $z^{-1}$ llamada $z$ inversa para tener la propiedad de que $z\cdot z^{-1} = 1$

$z^{-1}$ también se suele escribir como $1/z$

Answer 1

Siempre que necesite demostrar la unicidad de un elemento que posee alguna propiedad, puede comenzar su demostración asumiendo la existencia de como mínimo dos elementos de este tipo que tengan esta propiedad, digamos $x$ y $y$ y mostrando que, bajo este supuesto, resulta $x = y$ necesariamente.

En este caso, la propiedad que comprobaremos es "ser un inverso de $z$ ": Utilizaremos la definición de $z$ -inverso (el inverso de $z$ ): es un elemento "cualquiera $z'$ tal que $$z' z = zz' = 1\tag{1}$$ (No denotaremos ningún elemento de este tipo por $z^{-1}$ todavía, porque primero tenemos que descartar la posibilidad de que dicho elemento no sea único).

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Supongamos $z \neq 0 \in \mathbb C$ tiene dos inversos, $x, y,\;\;x\neq y$ . No llamaremos a ninguno de ellos $z^{-1}$ en este punto porque estamos asumiendo que son distintos, y que son ambos inversos que cumplan $(1)$ .

A continuación, utilizamos la definición de elemento inverso, $(1)$ que debe cumplirse tanto para $x, y$ . Entonces

• Desde $y$ es un inverso de $z$ debemos tener, por $(1)$ que $\color{blue}{\bf yz} = zy = \color{blue}{\bf 1}$ y

• Desde $x$ es un inverso de $z$ debemos tener que $xz = \color{blue}{\bf zx = 1}$ de nuevo, por lo que satisface la definición de elemento inverso dada en $(1)$ .

Esto significa que $${\bf{x}} = \color{blue}{\bf 1} \cdot x = \color{blue}{\bf(yz)}x = y(zx) =\;y\color{blue}{\bf (zx)} = y \cdot \color{blue}{\bf 1} = {\bf {y}}$$

Por lo tanto, $$\text{Therefore,}\quad x \;=\; y \;= \;z^{-1},$$ y por lo tanto, realmente hay sólo uno inverso multiplicativo de $z;\;$ es decir, la inversa de un complejo dado $z$ debe ser único, y lo denotamos por $\,z^{-1}.$

Answer 2

Pistas: supongamos $\,a,b\,$ inversas a la misma $\,z\in\Bbb C\,$ :

$$a=a\cdot 1=a(zb)=(az)b=\ldots$$

Answer 3

Demostrar que el elemento identidad de un grupo $G$ es único, es decir, sólo existe un elemento $e\in G$ tal que $eg=ge=g$ para todos $g\in G$ .