Integrar $\int x e^{x} \sin x dx$

Question

Evaluar:

$$\int x e^{x} \sin x dx$$

¿Se ha encontrado alguna vez con una integral de este tipo? No tengo ni idea de cómo empezar a calcularla.

Answer 1

Si se recuerda que $\sin(x)=\Im e^{ix}$ entonces

$$\int x\sin(x)e^x\ dx=\Im\int xe^{(1+i)x}\ dx$$

Con una rápida integración por partes, tenemos

$$=\Im\left(\frac1{1+i}xe^{(1+i)x}-\frac1{1+i}\int e^{(1+i)x}\ dx\right)\\=\Im\left(\frac1{1+i}xe^{(1+i)x}-\frac1{(1+i)^2}e^{(1+i)x}+C\right)\\=\frac12\left(x\sin(x)e^x-x\cos(x)e^x+\cos(x)e^x\right)$$

Answer 2

Solución sin números complejos:

Dejemos que $I=\int e^x x\sin xdx$ Integración por partes:

$$I=e^x x\sin x-\int e^x x\cos xdx-\int e^x\sin xdx$$

Luego una vez más por partes:

$$\int e^x x\cos xdx=e^x x\cos x + I-\int e^x\cos xdx$$

Así que:

$$2I=e^x x\sin x-e^x x\cos x+\int e^x(\cos x-\sin x)dx$$

Ahora (por partes de nuevo o por observación directa):

$$\int e^x(\cos x-\sin x)dx=e^x \cos x$$

Así que:

$$I=\frac{e^x x\sin x-e^x x\cos x+e^x \cos x}{2}$$

Answer 3

CONSEJOS:

Utiliza la fórmula de Euler para escribir $$x\sin(x)e^x=\text{Im}(xe^{(1+i)x})$$ Integrar $\int xe^{(1+i)x}\,dx$ por partes con $u=x$ y $v=\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}$ y terminar tomando la parte imaginaria.

Answer 4

Esta solución no utiliza la integración por partes. Comenzamos con

$$\int\exp(x) dx = \exp(x)$$

Sustituyendo $x = \lambda t$ rendimientos:

$$\int\exp(\lambda t) dt = \frac{\exp(\lambda t)}{\lambda}$$

Sustituir $\lambda = 1+\epsilon + i$ y expandir ambos lados a primer orden en $\epsilon$ . Igualando el coeficiente de $\epsilon$ de las dos partes cede:

$$\begin{split}\int t\exp(t)\exp(i t) dt &= \exp(t)\exp(it)\left[\frac{1-i}{2}t + \frac{i}{2}\right]\\ & = \exp(t)\left[\frac{\exp(i(t-\frac{\pi}{4}))}{\sqrt{2}}t + \frac{\exp(i(t+\frac{\pi}{2}))}{2}\right] \end{split} $$

Por último, toma la parte imaginaria de ambos lados:

$$\int t\exp(t)\sin(t) dt = \exp(t)\left[\frac{\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}}t + \frac{\cos(t)}{2}\right]$$

Answer 5

Por coeficientes indeterminados :

Un término como $xe^x\sin x$ puede ser generada por la derivada de sí misma (debido a $e^x$ ), que también generará $xe^x\cos x$ y $e^x\sin x$ .

Entonces tenemos la tentación de intentar

$$f(x)=e^x(x(A\sin x+B\cos x)+(C\sin x+D\cos x)),$$

y

$$f'(x)=e^x(x(A\sin x+B\cos x)+(C\sin x+D\cos x)+(A\sin x+B\cos x)+x(A\cos x-B\sin x)+(C\cos x-D\sin x)).$$

Nos identificamos,

$$A-B=1,\\A+B=0,\\C+A-D=0,\\D+B+C=0$$

y obtener

$$\frac12xe^x(\sin x-\cos x)+\frac12\cos x.$$