Ecuación cuártica con soluciones del número entero

Question

Estoy tratando de encontrar las soluciones de la siguiente ecuación de cuarto grado,

$$x^4+22x^3+172x^2+552x+576=0$$

dado que todos los solutons son enteros. A continuación, es el original de la redacción de el problema con las sugerencias de la construcción de esta ecuación. Puedo probar todos los resultados que se pide antes de la parte final de la pregunta, pero estoy luchando para encontrar las soluciones a la ecuación y necesita ayuda con la explicación del proceso así.

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Yo, entonces debes saber que:

(1) $k_1k_2k_3k_4 = 576 = (1)(2^6)(3^2)$

(2) $(k_1+1)(k_2+1)(k_3+1)(k_4+1) = 1323$

(3) $(k_1-1)(k_2-1)(k_3-1)(k_4-1) = 175 = (1)(5^2)(7)$

Sin embargo, no sé cómo proceder a partir de aquí, y la solución a este problema no explican en detalle suficiente para mí para entender bien la solución, o el enfoque.

Answer 1

Este es un intento de mostrar cómo el método sugerido en la pregunta se puede avanzar.

Ver el $1323$ con factores de $3^3\times 7^2$. El tamaño de $7$ va a restringir las posibilidades para investigar más rápidamente que en el menor de los números primos. Tenemos $576=24^2$

La disposición de los múltiplos de $7$ $7, 21, 49, 63, 147$ (otros son demasiado grandes), dando a los posibles factores de $576$ que se diferencian por $1$ (no se puede decir de la señal en esta etapa).

Así que los posibles factores de $576$ $6 , 8; 20, 22; 48, 50; 62, 64; 146, 148$ y los únicos que en realidad son factores se $6, 8, 48$

Y los posibles factores de $175$ difieren por $2$ (en la misma dirección que los factores de $576$) por lo que puede ser $5, 9; 47$, y esta vez sólo $5$ es posible, con dos factores para que coincida con las dos $7$s.

Esto significa que los factores que tenemos para $576$ tienen valor numérico $6$, y de hecho podemos decir que las raíces se $-6$ por la atención a los signos [NB]. Luego hay un montón de maneras de terminar - tener dos soluciones, podemos, por ejemplo, identificar y resolver la ecuación cuadrática para el resto de las raíces. O, alternativamente, el resto de factor de $7$ $175$ da $-8$ y el factor final que tiene que ser $1$ da $-2$ (signos para ser asignados con cuidado, pero dado que los coeficientes son todas positivas, las raíces deben ser negativo consulte la NOTA a continuación).

NOTA: El $k_i$ son los negativos de las raíces para el $k_i$ aquí sería $6$ con los factores de $(x+6)^2$ y el doble de la raíz de $x=-6$. Y, a continuación, $8$ $2$ igualmente.

Answer 2

Lema: Vamos $ P(x)= a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x+ a_0 $ ser un polynomail integral coefficeint;
es decir,$a_i \in \mathbb{Z}$$a_n\neq 0$.
Deje $\alpha=\dfrac{r}{s}$ ser racional raíz de esta ecuación, con $\gcd(r,s)=1$;
a continuación, debemos tener: $s \mid a_n$$r \mid a_0$ .
Prueba: Supongamos $\alpha=\dfrac{r}{s}$ ser racional raíz de $P(x)$, con $\gcd(r,s)=1$; entonces tenemos: $$ 0= P(\alpha)= a_n\alpha^n+ a_{n-1}\alpha^{n-1}+ ... + a_1\alpha+ a_0 \Longrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0= a_n(\dfrac{r}{s})^n+ a_{n-1}(\dfrac{r}{s})^{n-1}+ ... + a_1(\dfrac{r}{s})+ a_0 \Longrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0= a_nr^n+ a_{n-1}r^{n-1}+ ... + a_1rs^{n-1}+ a_0s^n \ \ \ \ \ \ \ \estrellas $$ tenga en cuenta que $r$ divide el lado izquierdo de $\star$; por lo que debe divide los RHS;
observe también que $r$ divide a todos los términos, excepto $a_0s^n$; por lo que debe divide $a_0s^n$;
por Euclides del lema podemos concluir que $r|a_0$.

tenga en cuenta que $s$ divide el lado izquierdo de $\star$; por lo que debe divide los RHS;
observe también que $s$ divide a todos los términos, excepto $a_nr^n$; por lo que debe divide $a_nr^n$;
por Euclides del lema podemos concluir que $s|a_n$.

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En el caso especial de esta pregunta sabemos $576=2^63^2$, por lo que debemos tener:

$$s|1 \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ r|2^63^2 $$

tan sólo basta para comprobar todos los enteros $\pm d$; donde $d$ es un divisor positivo de $576$;
uno puede comprobar por la mano que las únicas posibilidades son $-2$$-6$.