¿Cómo puedo demostrar que la siguiente función es uno?

Question

Definir que $f(x)$ $[a,b]$ tal que $$f(x)=x+\frac{g(x)}{20}$$ Where $g (x) $ is differentiable function on [a,b] and $ | g'(x) | $\leq 10, entonces:

un) $f(x)$ es de variación acotada. (He comprobado, porque la función ha limitado derivado)

b) $f(x)$ es uno uno.

Por favor, dígame cómo puede probar la función es uno uno.

Answer 1

Complete los datos:

$$f'(x)=1+\frac{g'(x)}{20}\stackrel{\text{Why? Justify}}>0\implies\;f\;\;\text{is injective}$$

puesto que es monótona creciente en el intervalo dado

Answer 2

Una condición suficiente para $f$ ser inyectiva ("uno a uno") es $f'$ ser estrictamente positivo, o estrictamente negativa. En su caso, desde $-10 \le g' \le 10$ y $f' = 1 + \frac {g'} {20}$, se deduce que

$$\frac 1 2 = 1 + \frac {-10} {20} \le \underbrace {1 + \frac {g'} {20}} _{f'} \le 1 + \frac {10} {20} = \frac 3 2 ,$$

así $f'(x) \in [\frac 1 2, \frac 3 2] \ \forall x \in [a,b]$, que muestra que el $f'$ es estrictamente positivo, por lo tanto, estrictamente creciente y por lo tanto inyectiva.