Reparten 3 cartas. ¿Probabilidades de que se trate cualquier par de?

Question

Esto no es para ayudar a una adicción al juego. Simplemente estoy curioso cómo hacer esto de matemáticas.
Se reparten 3 cartas. ¿Cuáles son las probabilidades de tener una pareja? (Podemos excluir a los 3 de una clase)

Número Total de manos = $\begin{pmatrix}52 \\ 3\end{pmatrix}$ = 22100

¿Qué debo hacer a continuación? (Añadido de respuesta a continuación)

De cuántas maneras puedo conseguir un par de 2, por ejemplo? $\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}$ = 6 Y hay 13 tipos de pares que me puedan dar. Así, 13x6 = 72. Así, sólo hay un 72/22100 oportunidad de ser tratado de una pareja?

Suplementario: Si hay 5 jugadores, ¿cuáles son las probabilidades de que al menos 1 persona tiene una pareja?

Answer 1

Vamos a contar las manos donde usted no consigue un par: Para la primera tarjeta, hay $52$ posibilidades, para el segundo hay $48$ (ya que las cartas son del primer tipo están prohibidas ahora) y para la tercera parte, hay $44$ posibilidades. Ahora de la mano, no importa el orden, por lo que hay $$\frac{52\cdot 48\cdot 44}{6} = 18304$$ hands without a pair. Now the number of hands with a pair is $$\binom{52}{3} - 18304 = 3796.$$ Por lo tanto, la probabilidad de obtener una mano con un par es $$\frac{3796}{22100} \approx 17.2\%.$$

EDITAR: La solución cuenta con tres de una clase como una mano con un par. En el caso de que $3$ de una especie están prohibidas, tenemos que restar el $$\frac{52\cdot 3\cdot 2}{6} = 52$$ hands with $3$ of a kind. Now there are $$3796 - 52 = 3744$$ "good" hands, so the probability of getting a pair, but not three of a kind, is $$\frac{3744}{22100} \approx 16.9\%.$$

Answer 2

Suponga que se reparten 3 cartas en una fila (así que no hay otras tarjetas que faltan de la cubierta entre las tarjetas que usted recibe). Las posibilidades de conseguir un par son simplemente 1 - (la probabilidad de no obtener ningún par). La primera tarjeta es algo de la tarjeta con probabilidad 1. Ahora hay 3 cartas de la baraja, que si trataran a usted, le daría un par, por lo que las posibilidades de no obtener un par en la segunda tarjeta se 48/51. Ahora hay 6 cartas en la baraja que le dará un par si los recibe, por lo que las posibilidades de no obtener un par en la tercera tarjeta es 44/50. En general las posibilidades de conseguir no es par 1*(48/51)*(44/50), así que las posibilidades de conseguir una pareja es 1 menos que el producto.

Answer 3

• El número total de combinaciones de 3 cartas = $52\choose3$
• Combinaciones de 3 cartas con sólo un par de = $13\times {4\choose2}\times 48$ (Hay 13 posibles rangos de las cartas de As a Rey) que podrían formar la pareja, 4C2 las posibles formas en que la pareja podría estar formado por diferentes palos, y 48 cartas posibles para la otra tarjeta - todos excepto los de la tarjeta de que se forma el par)
• Combinaciones de 3 cartas con un tres-de-un-tipo = $13\times {4\choose3}$ (razonamiento Similar a la de arriba)

Por lo tanto, la probabilidad de obtener sólo un par (y no tres-de-un-tipo) es $p_{pair}=\frac{72}{425}$

Para $n$ de la gente en general, la probabilidad de que al menos una persona tiene una pareja es igual a 1 menos la probabilidad de que ninguna persona tiene un par. La probabilidad de que cada persona no tiene un par de es $(1-p_{pair})$, y para $n$ de la gente no tiene una pareja sería $(1-p_{pair})^n$.

Con su ejemplo, la probabilidad sería

$$1-(1-p_{pair})^5\approx0.6047$$