Teoría de la medida en práctica

Question

Estoy tratando de unir mis conocimientos de estadística y teoría de la medida considerando el siguiente ejemplo.

Supongamos que tenemos un espacio medible $(\Omega_1,B_1)$ y una variable aleatoria (función medible) en el espacio, llámala $X$: $\Omega_1 \rightarrow R$.

Supongamos que conocemos la función de distribución de $X$, digamos que es normal $X \sim N(0,1)$. Ahora considera la variable aleatoria $$Y=X+5$$

Sabemos de estadísticas básicas que $Y\sim (5,1)$, pero ¿cómo podemos demostrarlo usando la definición de $X$ y la composición de funciones? ¡Explicaciones paso a paso son muy apreciadas!

Answer 1

Para poder hablar adecuadamente de la distribución de una variable aleatoria, necesitas un espacio de medida (con una medida), y específicamente un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr A, \mathbb P)$, donde por supuesto $\mathbb P (\Omega) = 1$.

La distribución de una variable aleatoria $X$ es la medida de imagen $X(\mathbb P)$, es decir,

$$ X(\mathbb P)(A) :=\mathbb P(X^{-1}(A)) \quad \text{para }A\in\mathscr A,$$

En un contexto fuera de la teoría de la medida, me encontré por primera vez con esto como la 'función de distribución acumulativa' de una variable aleatoria, es decir, la función que da la probabilidad de que $X$ sea menor o igual a $x$:

$$ F_X(x) = \mathbb P (X \leq x) = \mathbb P \left(X^{-1} (-\infty, x]\right).$$

Puedes reconocer $(-\infty, x]$ como los conjuntos que generan los conjuntos de Borel en $\mathbb R$.

Una variable aleatoria tiene una distribución normal $N(0,1)$ cuando esta medida de imagen se define como:

$$ X(\mathbb P)(A) = \int_A e^{-x^2/2} \, \mathrm \lambda(\mathrm dx),$$

donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue unidimensional. Expresado en términos menos pesados de teoría de la medida,

$$ F_X(x) = \int_{-\infty}^x e^{t^2/2} \, \mathrm dt.$$

Si $Y = X+5$, entonces tenemos $Y(\mathbb P)(A)=X(\mathbb P)(A-5)$, lo que nos da

$$ Y(\mathbb P)(A) = \int_{A-5} e^{x^2/2} \, \lambda(\mathrm dx)\\ =\int_A e^{(x-5)^2/2} \, \lambda(\mathrm dx),$$

que es la definición de $Y$ teniendo una distribución $N(5,1)$. Aquí utilizamos el hecho de que $x \mapsto x +5$ es medible (porque es continua) para justificar el último paso.

Answer 2

Como dice S. van Nigtevecht, cuando se dice $X\sim N(0,1)$ se está diciendo que se agrega una medida de probabilidad al conjunto, por lo que en total tenemos un espacio de medida $(\Omega, B, P)$, y un par de funciones $X$ e $Y$ tal que $Y(\omega)=X(\omega)+5$ para todo $\omega\in\Omega$. Si se quiere, $Y$ es la composición de $X$ con la función "sumar 5". También sabemos que $P(\{\omega: X(\omega)\le a\})=\int_{-\infty}^a \phi(t)\,dt$, donde $\phi$ es la función de densidad $N(0,1)$. Por lo tanto, $Y^{-1}([-\infty,x]) = X^{-1}([-\infty,x+5]),$ y $$P(Y\le x) = P(X\le x+5 ) = P(\{\omega: X(\omega)\le x+5\}) = \int_{-\infty}^{x+5}\phi(t)\,dt$$ y así sucesivamente. (He omitido el subíndice $1$ aquí y allá).

¿Es esto lo que quieres?

Answer 3

Como otros han mencionado, primero necesitas una medida de probabilidad en $\Omega_1$. La afirmación $Z \sim N(\mu,\sigma^2)$ puede entonces ser definida como diciendo que para cualquier función medible acotada $\phi: \Bbb R \to \Bbb R$, tenemos que $$E[\phi(Z)] = (2\pi \sigma)^{-1/2}\int_{\Bbb R} \phi(z)e^{-(z-\mu)^2/(2\sigma^2)}dz$$ o en términos más simples, la densidad de $Z$ (más técnicamente el derivado de Radon-Nikodym de la ley de $Z$ con respecto a la medida de Lebesgue) es un múltiplo de $e^{-(z-\mu)^2/(2\sigma^2)}.

Ahora sea $X \sim N(0,1)$ y $Y:=X+5$. Dada cualquier $\phi$ medible acotada definimos $\psi(x):=\phi(x+5)$ y encontramos que $$E[\phi(Y)] = E[\psi(X)] = c\int_{\Bbb R} \psi(x)e^{-x^2/2}dx = c\int_{\Bbb R} \phi(x+5)e^{-x^2/2}dx=c\int_{\Bbb R} \phi(y)e^{-(y-5)^2/2}dy$$ donde $c= (2\pi)^{-1/2}$. Esto muestra que la densidad de $Y$ es $e^{-(y-5)^2/2}$, o en otras palabras, $Y \sim N(5,1)$.