Volumen del barrio de la curva

Question

Que $\gamma:[0,1] \to \mathbb R^n$ ser una curva suave y cerrada, que $\gamma(0)=\gamma(1), \gamma'(0)=\gamma'(1), |\gamma'(a)|=1$% y dejó $B_r=\{x| \exists t, |\gamma(t)-x|<r\}$. Cómo puedo demostrar que el volumen de $B_r$ es igual a $br^{(n-1)}$ $r <\varepsilon$ $\varepsilon>0$. Y ¿cómo puedo encontrar a $b$? Es intuitivamente obvio. Pero, ¿cómo puede uno probar? Ni idea.

Answer 1

Parece que la respuesta es $|B_r| = LV_r$ donde $L$ es la longitud de la curva de $\gamma$ $V_r$ es el volumen de la bola con el radio de $r$$\mathbb R^{n-1}$. Esto es un poco extraño para mí porque $B_r$ no es isométrico para el cilindro, por lo que antes de que el cálculo pensé que iba a conseguir algo relacionado con la curvatura de $\gamma$.

El punto es encontrar una buena parametrización de $B_r$. Deje $\{\dot \gamma (t), v_1(t), \cdots v_{n-1}(t)\}$ ser ortonormales marco. Que es

$$\langle \dot\gamma, v_i\rangle = 0, \ \ \langle v_i , v_j\rangle = \delta_{ij} \ \ \ \text{ for all } t\ .$$

Además elegimos $v_i$ de tal manera que $\frac{\partial v_i}{\partial t} = -\langle v_i , \ddot\gamma \rangle \dot\gamma$. (De manera abstracta, considero que el mapa de Gauss $G(t)= \dot\gamma(t) \in \mathbb S^{n-1}$ y formularios de $v_i$ por transporte paralelo a lo largo de la curva de $G(t)$$\mathbb S^{n-1}$). A continuación, definir

$$\phi :[0,L] \times B(r) \to B_r,\ \ \phi(t, \vec x) = \gamma(t) + x^i v_i(t)\ .$$

donde $B(r)$ es el balón con el radio de $r$$\mathbb R^{n-1}$. Entonces

$$\partial_t \phi = \dot\gamma + x^i \partial_t v_i = \dot\gamma - x^i h_i \dot\gamma = (1-\langle \vec x , \vec h\rangle)\dot\gamma,\ \ \ \partial_i\phi = v_i$$

donde$\vec h := (h_1, \cdots h_{n-1})$$h_i := \langle v_i, \ddot\gamma \rangle$. Esto implica $J\phi = (1- \langle \vec x, \vec h\rangle)$ y

$$|B_r| = \int_0^L \int_{B(r)} (1- \langle \vec x, \vec h\rangle) d\vec x dt = LV_r - \int_0^L \int_{B(r)} \langle \vec x, \vec h\rangle d\vec x = LV_r$$

(La integral en $\langle \vec x, \vec h\rangle$ es cero, ya que es una "función odd").

Cuestión Similar se puede pedir para un submanifolds $\Sigma$$\mathbb R^n$. En este caso la curvatura de $\Sigma$ desempeña el papel y, por ejemplo, para las superficies en $\mathbb R^3$, (en http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/intrinsic_volumes_for_riemanni.html)

$$|B_r(\Sigma)| = 2|\Sigma|r + \frac{4\pi}{3} \chi(\Sigma) r^3\ .$$