Informática un conjunto de Julia

Question

En el libro de Ermentrout computa el conjunto de Julia para $z \mapsto z^2 + c$ a partir de un punto dentro del círculo unidad y luego elegir aleatoriamente itera $z\mapsto \pm\sqrt{z-c}$. Puesto que el conjunto de Julia es la línea de separación entre los puntos fijos en el origen y en el infinito, ¿cómo este procedimiento calcular el conjunto de Julia? Soy despistado sobre dinámica simbólica y no puede ver este procedimiento podría posiblemente. Gracias de antemano y espero que puede arrojar algo de luz sobre esto.

Answer 1

Para dar un poco de motivación de por qué este procedimiento podría funcionar, considere la siguiente declaración:

Supongamos que $c\neq 0$ (ya que de lo contrario usted ya sabe que el conjunto de Julia es el círculo unidad en $\mathbb{C}$). Entonces para cualquier punto de $w\in \mathbb{C}$, la preimagen de los conjuntos de $f^{-n}(w)$ $n\geq 1$ clúster en cada punto de la Julia.

Prueba: Vamos a $z_0$ ser un punto en el conjunto de Julia. Luego resulta que los conjuntos de $f^{-n}(w)$ clúster en $z_0$ es equivalente a probar que para cada vecindario $U$$z_0$, hay un $n$ tal que $w\in f^n(U)$. Por lo tanto, fijar un vecindario $U$$z_0$$\mathbb{C}$. Debido a $z_0$ es en el conjunto Julia, sabes por definición que la familia de itera $\{f^n|_U : U\to \mathbb{P}^1(\mathbb{C})\}$ no es equicontinuous. Ahora recuerdo del teorema de Montel, que dice que si no son tres puntos distintos de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ que no se encuentran en la imagen de cualquiera de los mapas de $f^n|_U\colon U\to \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, entonces la familia es necesariamente equicontinuous. Así, por Montel, sabemos que en la mayoría de los dos puntos de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ no se encuentran en la imagen de cualquier $f^n|_U$. Por supuesto, $\infty$ es uno de esos momento, ya que nuestro mapa de la $f$ es un polinomio. Eso significa que no puede haber más de un otro tal punto de $\zeta\in \mathbb{C}$. Pero entonces, si $\zeta$ existe, debe satisfacer $f^{-1}(\zeta) = \{\zeta\}$. En particular, $\zeta$ debe ser crítica, es decir, $\zeta = 0$. Pero, a continuación, $\zeta = 0$ es un punto fijo, que dice exactamente eso $c = 0$. Desde que asumimos $c\neq 0$, podemos concluir que no existe tal $\zeta$. Esto demuestra $\bigcup_{n\geq 0}f^n(U) = \mathbb{C}$, y, en particular, hay un $n$ tal que $w\in f^n(U)$. QED.

Desde su descripción, parece que el procedimiento que se utiliza para calcular el conjunto de Julia es la siguiente:

1. Elegir un punto al azar,$w\in \mathbb{C}$.
2. Elegir una al azar preimagen $w_1$$w$.
3. Elegir una al azar preimagen $w_2$$w_1$.
4. Continuar la construcción de una secuencia $w_n$ tal que $f(w_n) = w_{n-1}$ por cada $n$.
5. Oren para que este los clústeres de secuencia en todas partes a lo largo de la Julia, dándole una manera de calcular.

Por supuesto, lo que fue demostrado arriba no dice que la secuencia específica de $w_n$ se agrupan a lo largo de la Julia, de manera que no es una prueba de que el procedimiento funciona. Pero en la práctica esto. Hay algunos de más alta potencia teoremas de la de arriba, que garantizan que. El primer teorema de tales (que se aplica en esta configuración) fue probado por Hans Brolin en su Tel. D. tesis en la década del '60:

Teorema (Brolin): de Nuevo, supongamos $c\neq 0$. Entonces hay una probabilidad de medida $\mu$ cuyo apoyo es el conjunto Julia con la propiedad de que para cualquier punto de $w\in \mathbb{C}$, la preimagen de los conjuntos de $f^{-n}(w)$ equidistribute a $\mu$.

Como consecuencia de este teorema, si usted elige la secuencia de $w_i$ por encima verdaderamente al azar, debe agrupan a lo largo de cada punto de la Julia (aunque podría clúster en algunos puntos de la Julia con más frecuencia que otros....).

También debo señalar, sobre los procedimientos para el cómputo de la Julia conjunto de polinomios cuadráticos ir, este no es muy buena. Hay algunos bien establecidos potencial teórico de los métodos que no son difíciles y producir muy buenas fotos. Consulte esta página para la discusión de estos métodos.

Answer 2

1. Conjunto de Julia es el cierre de la serie de repeler los puntos periódicos de una función f (z) = z ^ 2 + c.
2. rechazo de puntos de f están atrayendo los puntos de la función inversa f^{-1}(z) = Sqrt(z-c)

tan inversa (hacia atrás) de la órbita "siempre" se dividen en conjunto Julia