He estado leyendo recientemente sobre campos algebraicamente cerrados y espacios métricos completos, y me parece que son ideas muy similares. ¿Hay algún concepto matemático más general del que estas dos ideas sean instantes?
Además, estoy seguro de que $ \mathbb R$ es un espacio métrico completo, pero no está algebraicamente cerrado, mientras que $ \mathbb C$ es ambas cosas. ¿Es posible construir un espacio métrico algebraicamente cerrado que no esté completo?
¡Gracias de antemano!
Los procesos de cierre algebraico y finalización métrica son en realidad menos similares de lo que parecen en un principio. El cierre métrico es canónico en el sentido de que hacerlo requiere no tomar decisiones arbitrarias. Simplemente "se unen los límites de todas las secuencias de Cauchy". (Más precisamente - y esto no va a tener sentido para usted, pero lo incluyo por el bien de la completitud - hay un functor de inclusión de la categoría de espacios métricos completos a la categoría de espacios métricos, y la compleción métrica es su adyacente izquierdo).
El cierre algebraico, sin embargo, requiere tomar ciertas decisiones arbitrarias. Puede parecer que no lo hace, ya que sólo "se unen las raíces de todos los polinomios", pero las secuencias caucásicas tienen único límites y polinomios no tienen raíces únicas; hay que elegir (ingenuamente) algún orden arbitrario en el que se adjuntan las raíces de un polinomio particular, aunque no hay una forma canónica de elegir tal orden. Además, usted (ingenuamente) tiene que elegir un orden en el conjunto de polinomios; no puede simplemente adjuntar todas sus raíces a la vez como puede con las secuencias Cauchy, ya que adjuntar algunas raíces hará que las raíces de otros polinomios sean redundantes. (Más precisamente - de nuevo, para completar - hay un functor de inclusión de la categoría de campos algebraicamente cerrados a la categoría de campos, y no tiene un anexo izquierdo. Además, la terminación algebraica no puede extenderse a un functor en absoluto).
El cierre algebraico de los números racionales es un campo cerrado algebraicamente, sin embargo es sólo contable, por lo que no es $ \mathbb C$ .
Sin embargo, todavía hay una secuencia caucásica que converge en $ \pi $ (ya que los fundamentos son densos en $ \mathbb R$ ) pero por desgracia $ \pi $ no es algebraico sobre $ \mathbb Q$ así que el campo no es un espacio métrico completo.
Puede que le interese leer sobre las nociones de un verdadero campo cerrado y campo formalmente cerrado que están de alguna manera relacionados con su pregunta.
En general, parece que se ve la similitud en el "cierre bajo la propiedad X", ya sea límites caucásicos o polinomios. Este no es un concepto extraño, y es muy común tomar una cierta propiedad y preguntarse qué sucede cuando se cierra bajo ella.
Si tomas los números naturales, ¿qué pasa cuando lo cierras por sustracción? Obtienes $ \mathbb Z$ Cuando cierras la división, tienes $ \mathbb Q$ y puedes seguir adelante y encontrar estructuras más ricas (exponenciación, continuidad, etc.)
El cierre algebraico de $ \mathbb {Q}$ está cerrado algebraicamente. Considerando que es un subconjunto de $ \mathbb {C}$ tiene una métrica inducida. No está completa en esta métrica, por ejemplo porque contiene $Q[i]$ que es denso en $ \mathbb {C}$ pero es diferente de $ \mathbb {C}$ (por ejemplo, porque es contable).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
