Integral que involucra dos funciones de Green de energía

Question

El problema

Estoy intentando evaluar esta integral:

\begin{equation} I(\vec{k}) = \lim_{\epsilon\to 0} \int d^3q \, \frac{1}{E-E_{\vec{q}}+i\epsilon} \frac{1}{E-E_{\vec{k}+\vec{q}}+i\epsilon} \end{equation}

con $E_\vec{q}=q^2/2$ y $E_{\vec{k}+\vec{q}}=|\vec{k}+\vec{q}|^2/2$ .

Si es posible, estaría bien ver varios métodos de solución.

Mi intento

He elegido trabajar en un sistema de coordenadas esféricas con $\vec{k}$ alineados a lo largo del $z$ -eje. Dejando $\phi$ representan el ángulo polar entre $\vec{k}$ y $\vec{q}$ , escribí $E_{\vec{k}+\vec{q}}$ como

\begin{equation} E_{\vec{k}+\vec{q}} = \frac{1}{2} \left( k^2 + q^2 - 2kq \cos (\pi-\phi) \right) = \frac{k^2}{2} + \frac{q^2}{2} + kq \cos \phi . \end{equation}

Entonces es bastante sencillo evaluar ambas integrales angulares, dejando sólo la integral radial:

\begin{equation} I(\vec{k}) = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{2\pi}{k} \int_0^\infty dq \, \frac{q}{E-q^2/2+i\epsilon} \ln \left| \frac{E-(k-q)^2/2+i\epsilon}{E-(k+q)^2/2+i\epsilon}\right| . \end{equation}

Pero aquí es donde me quedo atascado.

Answer 1

Tal y como sugiere Philip Cherian, es posible que quieras comprobarlo en la sección de Matemáticas. Sin embargo, quiero señalar una cosa acerca de cómo manejar el límite.

Asumiré que $|\vec{k}|\ne 0$ . Lo primero que hay que hacer es separar cada propagador en sus partes real e imaginaria. En general, $$\lim_{\delta \rightarrow 0^+}\frac{1}{E-E(q)+i\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+}\left[\frac{1}{E-E(q)}-i\frac{\delta}{[E-E(q)]^2 + \delta^2}\right],$$ donde he multiplicado arriba y abajo por el complejo conjugado del denominador, y he despreciado el $\delta^2$ en el denominador de la parte real, ya que desaparecerá al tomar el límite. Entonces se utiliza la identidad $$\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\frac{\delta}{[E-E(q)]^2+\delta^2} = \pi\delta(E-E(q)),$$ es decir, el delta de Dirac. Lo que se obtiene es $$\begin{split}&\int d^3q\,\left[\frac{1}{E-E(q)}-i\pi\delta(E-E(q)) \right]\left[\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)}-i\pi\delta(E-E(\vec{q}+\vec{k})) \right]\\ &=\int d^3q\,\frac{1}{E-E(q)}\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)} + i\pi\int d^3q\,\left[ \frac{\delta(E-E(q))}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)} + \frac{\delta(E-E(|\vec{q}+\vec{k}|))}{E-E(q)} \right]. \end{split}$$

Fíjate que, como estoy asumiendo $k\ne 0$ el producto de dos deltas de Dirac tendrá que desaparecer, porque sus argumentos nunca son simultáneamente cero. Se puede evaluar fácilmente la integral con los deltas de Dirac. Recordemos que, como la dispersión es cuadrática en $q$ En el caso de las variables, hay que seguir ciertas reglas para cambiarlas. Eso te da la parte imaginaria de la integral. No tengo ningún consejo real sobre cómo evaluar la parte real $$\mathrm{Re}\{I(\vec{k})\}=\int d^3q\,\frac{1}{E-E(q)}\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)},$$ excepto para comprobar que realmente lo necesitas. Dependiendo del problema que estés resolviendo, a veces sólo necesitas la parte imaginaria. Por otro lado, también te recomiendo que compruebes que los dos denominadores de $I(\vec{k})$ tienen $+i \epsilon$ en lugar de uno que tenga $+i \epsilon$ y el otro $-i\epsilon$ . Lo digo porque esa expresión se parece a la aproximación del esqueleto de una burbuja de polarización, que es el producto de un propagador retardado y uno avanzado, en cuyo caso sus partes imaginarias tienen signos opuestos.

Answer 2

Se trata de una modificación de las manipulaciones clásicas que se realizan al calcular las integrales de bucle. La herramienta a utilizar suele denominarse "parámetros de Feynman". Insertando en las definiciones de $ E _i $ y definiendo $ m ^2 \equiv 2 E $ para hacer la conexión con los cómputos habituales que encuentro (dejo caer el $\epsilon$ ya que son irrelevantes aquí): \begin{align} \frac{1}{2} I & = \int d^3q \frac{1}{ ( q ^2 - m ^2 ) ( ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} ) ^2 - m ^2 ) } \\ & = \int _0 ^1 dx \int d^3q \frac{1}{ \left[ ( ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} ) ^2 - m ^2 ) x + ( q ^2 - m ^2 ) ( 1 - x ) \right] ^2 } \end{align} Ampliando y reescribiendo un poco la expresión se obtiene, \begin{equation} \frac{1}{2} I = \int _0 ^1 d x \int d^3q \frac{1}{ \left[ ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} x ) ^2 - {\mathbf{k}} ^2 x ^2 + {\mathbf{k}} ^2 x - m ^2 \right] ^2 } \end{equation} Ahora desplazando la variable integral encuentro: \begin{equation} \frac{1}{2} I = \int _0 ^1 d x \int d^3q \frac{1}{ \left[ {\mathbf{q}} ^2 + \Delta \right] ^2 } \end{equation} donde $ \Delta \equiv - {\mathbf{k}} ^2 x ^2 + {\mathbf{k}} ^2 x - m ^2 $ . La parte angular de la integral es ahora trivial y la integral radial es sencilla. Lo encuentro, \begin{equation} \frac{1}{2} I = \pi ^2 \int _0 ^1 d x \Delta ^{ - 1/2} \end{equation} El $ x $ integral se suele dejar sin tocar, pero sospecho que en este caso también se podría intentar llevar a cabo.