Diferenciar

Question

Cómo diferenciar %#% $ #%

El trabajo que conseguí fue $$\large{f(x) = x^x}$ $

que estoy bastante bien... pero no sé cómo avanza a

$$\ln f(x) = x \ln x$$

Aunque la respuesta final puede ser, multiplicando $$\frac{f'(x)}{f(x)} = x\begin{pmatrix} \frac 1 x\end{pmatrix} + \ln x$ en ambos lados de la ecuación,

$f(x)$$

ACTUALIZACIÓN: SOLUCIONADO

De hecho, $${f'(x)} = x^x\begin{bmatrix}x\begin{pmatrix} \frac 1 x\end{pmatrix} + \ln x\end{bmatrix}$ $ diferenciar ambos lados de la ecuación w.r.t $$\ln f(x) = x \ln x$ $x$ $Bring $$\frac{f'(x)}{f(x)} = x\begin{pmatrix} \frac 1 x\end{pmatrix} + \ln x = 1 + \ln x$ encima y finalmente obtendrá

$f(x)$$

Answer 1

Otra forma (ya utiliza la regla de la cadena y $[\ln f(x)]'$: $$x^x=e^{x\ln x}$ $

Answer 2

Por la regla de la cadena

$$\frac{d}{dx} \ln{f(x)} = \frac{1}{f(x)} f'(x)$$

Answer 3

El siguiente vino de un mathoverflow respuesta (no recuerdo la pregunta):

A un estudiante se le pidió a diferenciar $y=x^x$. No recordar cómo hacer diferenciación logarítmica el estudiante razonó de la siguiente manera: "bueno, no sé cómo differntiate $x^x$, pero sí sé cómo $x^r$. Esto es $rx^{r-1}$. Pero esto no es correcto ya que el exponente es $x$. Pero también sé que el derivado de la $r^x$. Esto es $ln(r)r^x$. Esto no es correcto, ya sea por la misma razón. Así que voy a dividir la diferencia y sumarlas y obtener $rx^{r-1}+ln(r)r^x$. Pero eso $r$ se $x$, por lo que la respuesta debe ser $x^x+ln(x)x^x$

Lo curioso es que el resultado es correcto, pero el razonamiento es incompleto. Lo que usted necesita es multivariable regla de la cadena para un compuesto de la forma, $$\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$, where the first map is the diagonal, and the second will be called $f$. The answer that you get in the case is $$\frac{df(x,x)}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}_{x=y}$$
Donde $\frac{\partial f}{\partial y}_{x=y}$ es la compuesta $\frac{\partial f}{\partial y}(\iota)$ donde $\iota(y)=x$.