Permutaciones de cartas sin pares adyacentes

Question

Tenemos una baraja estándar de 52 cartas, y estamos viendo las posibles barajadas/permutaciones de esta baraja. Sin embargo, hemos borrado los palos de las cartas, de modo que para cada rango (ases, dieces, etc.) las 4 cartas son indistinguibles. Además, si podemos transformar una permutación en otra simplemente cambiando los rangos, consideramos que las permutaciones son iguales. Por ejemplo, mirando las 6 primeras cartas, A52343 y 5234A4 deben considerarse la misma permutación.

Dos cartas del mismo valor no pueden ser adyacentes, por lo que AA2343... no es admisible (ases adyacentes). Podemos suponer que la primera y la última carta son adyacentes para facilitar la pregunta.

¿Cuántas permutaciones distintas existen de la baraja de 52 cartas?

Mi intento:

Supongamos que la primera carta es un as de diamantes. Generalmente tenemos $52!$ permutaciones para una baraja de cartas. Sin embargo, como todos los palos son iguales, tenemos $\frac{52!}{3!}$ . Todos los rangos son simétricos, por lo que tenemos $\frac{52!}{3!\times12!}$ .

No estoy seguro de cómo tener en cuenta la regla de los pares adyacentes.

P.D. No tengo casi conocimientos de combinatoria, lo preguntaba por esta respuesta por @RobWatts.

Answer 1

Ignorando tu regla de no pares vecinos, y asumiendo que tienes un único punto de partida, hay $\frac {52!}{4!^{13}13!}=14778213400262135041705388361938994140625\approx 1.5\cdot 10^{40}$ permutaciones. La dirección $52!$ es el número de órdenes de una baraja completa. Dividimos por $4!=24$ para cada rango, ya que podemos poner las cuatro cartas en cualquier orden. Dividimos por $13!$ para su equivalencia de rangos- podemos simplemente listar los rangos en el orden de la primera vez que vemos cada uno.

No veo una manera fácil de incorporar exactamente la regla de los pares vecinos. Voy a hacer la suposición incorrecta, pero probablemente no tan errónea, de que la coincidencia de una pareja es independiente de la coincidencia de cualquier otra pareja. La probabilidad de que una pareja coincida es $\frac 3{51}=\frac 1{17}$ porque habiendo sacado la primera carta hay $3$ cartas iguales de las restantes $51$ tarjetas. La probabilidad de que una permutación dada no tenga coincidencias es entonces $(\frac {16}{17})^{52}\approx 0.042746$ dando unos $6.3171\cdot 10^{38}$ permutaciones que se ajusten a sus requisitos.