Convergencia de una suma de variables aleatorias

Question

Dejemos que $(X_n)$ sea una suma de variables aleatorias positivas i.i.d. tal que $\mathbb{E}(X_1)=1$ y $\mathbb{P}(X_1\neq 1)>0$ . Poner $M_n=X_1\ldots X_n$ . Demostrar que $\sum _{n\geq 1}\sqrt{M_n}< +\infty $ a.e.

Se puede demostrar que $M_n$ es una martingala por lo que $\sqrt{M_n}$ es un supermartes pero esto no ayuda. No veo cómo utilizar la condición $\mathbb{P}(X_1\neq 1)>0$ para demostrar que esta serie converge.

Answer 1

Dejemos que $(X_n)$ sea una secuencia de variables aleatorias positivas i.i.d. tal que $\mathbb{E}(X_1)=1$ y $\mathbb{P}(X_1\neq 1)>0$ .

$\mathbb{E}\big( \sqrt{M_n} \big) =\mathbb{E}\big( \sqrt{X_1\ldots X_n} \big) = \Big[ \mathbb{E}( \sqrt{X_1} ) \Big]^n =: q^n $ , donde $q : =\mathbb{E}( \sqrt{X_1} ) < \sqrt{\mathbb{E}(X_1)} = 1 $ Obsérvese que la desigualdad estricta se deduce exactamente de la desigualdad de Jensen y de la suposición de que $\mathbb{P}(X_1\neq 1)>0$ ya que el caso de igualdad sólo se da cuando $X_1 = 1$ a.s.

Queda por aplicar Fubini:

$$\mathbb{E}\left[ \sum_{n=1}^\infty \sqrt{M_n} \right] =\sum_{n=1}^\infty \mathbb{E}\big( \sqrt{M_n} \big) = \sum_{n=1}^\infty q^n < +\infty \,\, . $$

Por lo tanto, se obtiene el resultado deseado. QED